Πέμπτη, 24 Σεπτεμβρίου 2009

Κίνηση δύο κινητών σε αντίθετες κατευθύνσεις μέχρι να συναντηθούν

Δύο αυτοκίνητα (ας αγνοήσουμε όμως τις διαστάσεις τους) κινούνται στον ίδιο ευθύγραμμο δρόμο με σταθερές ταχύτητες που έχουν μέτρα υ1 = 20m/s και υ2 = 10m/s αντίστοιχα και αντίθετες κατευθύνσεις. Κάποια χρονική στιγμή βρίσκονται στις θέσεις Α και Β οι οποίες απέχουν απόσταση D = 900m.
Α) Να υπολογίσετε:
1.Τη χρονική διάρκεια της κίνησής τους μέχρι τη χρονική στιγμή της συνάντησής τους.
2.Σε ποια θέση θα συναντηθούν.
3.Πόση είναι η μετατόπιση του κάθε αυτοκινήτου μέχρι τη χρονική στιγμή της συνάντησής τους.
4.Ποιό είναι το διάστημα που έχει διανύσει το κάθε αυτοκίνητο μέχρι τη χρονική στιγμή της συνάντησής τους.
Β) Να κατασκευαστούν:
1.Το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου για το καθένα αυτοκίνητο, σε κοινούς άξονες.
2.Το διάγραμμα θέσης - χρόνου για το καθένα αυτοκίνητο, σε κοινούς άξονες.
3.Το διάγραμμα διαστήματος χρόνου για το καθένα αυτοκίνητο, σε κοινούς άξονες.

Παίρνουμε τον άξονα x πάνω στην ευθεία ΑΒ με αρχή το σημείο Α και θετική φορά προς το σημείο Β.
Σαν αρχή μέτρησης του χρόνου (t0 = 0s) παίρνουμε την χρονική στιγμή που τα αυτοκίνητα είναι στα σημεία Α και Β αντίστοιχα (τα αυτοκίνητα λαμβάνονται σαν υλικά σημεία).
Το πρώτο αυτοκίνητο εκτελεί Ε.Ο.Κ. και περνάει από τη θέση x0(1) = 0m τη στιγμή t0 = 0s και κινείται κατά τη θετική φορά με ταχύτητα μέτρου υ1 = 20m/s. Η εξίσωση κίνησης του είναι:
x1 = 0 + 20t (SI) (1)
Το δεύτερο αυτοκίνητο εκτελεί Ε.Ο.Κ. και περνάει από τη θέση x0(2) = 900m τη στιγμή t0 = 0s και κινείται κατά την αρνητική φορά με ταχύτητα μέτρου υ2 = 10m/s. Η εξίσωση κίνησης του είναι:
x2 = 900 - 10t (SI) (2)

Τη στιγμή που τα αυτοκίνητα συναντιούνται, θα βρίσκονται στην ίδια θέση Σ με συντεταγμένη χΣ . Επομένως θα ισχύει ότι:
x1 = x2 = χΣ (3)
Με αντικατάσταση των (1) και (2) στην (3) έχουμε:
20t = 900 - 10t
30t = 900
t = 30s
Αντικαθιστώντας την τιμή του χρόνου που απαιτείται για να συναντηθούν σε οποιαδήποτε από τις (1) ή (2) βρίσκουμε τη θέση συνάντησης. Αν αντικαταστήσουμε στην (1) έχουμε:
x1 = x2 = xΣ = 20 30 = 600m
Η μετατόπιση του πρώτου αυτοκινήτου υπολογίζεται:
Δχ1 = χΣ – χ0(1) = 600 – 0 = 600m
Η μετατόπιση του δεύτερου αυτοκινήτου υπολογίζεται:
Δχ2 = χΣ – χ0(2) = 600 – 900 = -300m
Τα αντίστοιχα διαστήματα που διανύονται από τα δύο αυτοκίνητα είναι:
S1 =|Δχ1|=600m
S2 =|Δχ2|=300m



Το πρώτο αυτοκίνητο ξεκινά από τη θέση x0(1) = 0m τη χρονική στιγμή t0 = 0s κινείται με ταχύτητα μέτρου υ2 = 20 m/s προς τη θετική φορά και φτάνει στη θέση x1 = 600m τη χρονική στιγμή t = 30s.
Το δεύτερο αυτοκίνητο ξεκινά από τη θέση x0(2) = 900m τη χρονική στιγμή t0 = 0s κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 = 10 m/s προς την αρνητική φορά και φτάνει στη θέση x2 = 600m τη χρονική στιγμή t = 30s.
Επειδή οι κινήσεις είναι ευθύγραμμες ομαλές οι γραφικές παραστάσεις χ-t είναι ευθείες, ενώ οι γραφικές παραστάσεις υ-t είναι ευθείες παράλληλες στον άξονα του χρόνου.
Οι γραφικές παραστάσεις χ-t τέμνονται τη χρονική στιγμή t = 30s δηλαδή δείχνεται ότι τα δύο αυτοκίνητα βρίσκονται στην ίδια θέση (συναντιούνται).
Το πρώτο αυτοκίνητο διανύει διάστημα S1 = 600m ενώ το δεύτερο αυτοκίνητο διανύει διάστημα S2 = 300m
Η γραφικές παραστάσεις S-t είναι ευθείες που ξεκινούν από το μηδέν.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου