Αλλάζοντας το μέτρο της δύναμης

  

Ένα σώμα μάζας 0,2kg ηρεμεί σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο σε ένα σημείο Ο. Σε μια στιγμή t=0 ασκείται στο σώμα μια οριζόντια δύναμη F, με αποτέλεσμα το σώμα να κινηθεί και στο διάγραμμα βλέπετε την ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Αφού εξετάσετε αν η ασκούμενη δύναμη F είναι ή όχι σταθερού μέτρου, να υπολογίσετε το μέτρο της, την στιγμή t₁=8s.

ii) Πόσο απέχει το σώμα από την αρχική του θέση Ο, την στιγμή t₁;

iii) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα αλλάζοντας το μέτρο της ασκούμενης δύναμης.

α) Να βρείτε το νέο σταθερό μέτρο της δύναμης F₁, αν το σώμα φτάνει στην θέση Α σε απόσταση x₂=2,5m από την αρχική θέση Ο, μετά  από χρονικό διάστημα 5s.

β) Αν στη θέση Α, πάψει να ασκείται η δύναμη F₁, να βρείτε πόσο θα απέχει το σώμα από την θέση Α, μετά από χρονικό διάστημα Δt=3s.

Απάντηση:

ή

 Αλλάζοντας το μέτρο της δύναμης

 Αλλάζοντας το μέτρο της δύναμης

Μελετάμε την συνάντηση δύο αυτοκινήτων.

 

Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται αντίθετα  δύο αυτοκίνητα με σταθερές ταχύτητες μέτρων |υ₁|=20m/s και |υ₂|=30m/s. Σε μια στιγμή t₀=0, τα αυτοκίνητα περνούν από τις θέσεις Κ και Λ, όπου (ΚΛ)=d= 400m, όπως στο σχήμα. Για την κίνηση των δύο αυτοκινήτων τίθενται προς απάντηση τα εξής ερωτήματα:

i)  Ποιες οι εξισώσεις για την θέση κάθε αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο;

iii) Ποια χρονική στιγμή τα δυο αυτοκίνητα διασταυρώνονται;

iii) Να παρασταθούν στο ίδιο διάγραμμα οι γραφικές παραστάσεις x=x(t) για την θέση κάθε αυτοκινήτου, σε συνάρτηση με το χρόνο.

Για να απαντηθούν τα παραπάνω ερωτήματα, πρέπει να οριστεί προηγούμενα ένας προσανατολισμένος άξονας x, με βάση τον οποίο θα γίνει η επεξεργασία.

α) Ποιες απαντήσεις θα δώσει ένας μαθητής Α ο οποίος παίρνει έναν προσανατολισμένο άξονα x, με αρχή το σημείο Κ και την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική;

β) Ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις που θα δώσει ένας δεύτερος μαθητής Β, ο οποίος παίρνει ως αρχή του άξονα (x=0) το μέσον Μ της αρχικής απόστασης ΚΛ και την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική;

Απάντηση:

ή

 Μελετάμε την συνάντηση  δύο αυτοκινήτων.

 Μελετάμε την συνάντηση  δύο αυτοκινήτων.

Θα πρέπει να πάρει κλήση;

 

Δύο αυτοκίνητα κινούνται κατά μήκος ευθύγραμμου δρόμου και τη στιγμή t=0 περνούν από την αρχή (x=0) ενός προσανατολισμένου άξονα x. Στο διάγραμμα δίνονται οι ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση με το χρόνο.

i) Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων τη στιγμή t₁=10s;

ii) Το όριο ταχύτητας  στον δρόμο αυτό είναι τα 100km/h. Να εξετάσετε αν τα δυο αυτοκίνητα κινδυνεύουν να πάρουν κλήση για υπερβολική ταχύτητα.

iii) Ποια χρονική στιγμή το Β αυτοκίνητο θα προφτάσει το Α; Σε ποια θέση θα συμβεί αυτό;

Απάντηση:

ή

  Θα πρέπει να πάρει κλήση;

  Θα πρέπει να πάρει κλήση;

Δυο αυτοκίνητα στον ίδιο δρόμο

   

Κατά μήκος ευθύγραμμου δρόμου κινείται ένα αυτοκίνητο Α και σε μια στιγμή t=0 απέχει κατά d=100m από ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β, το οποίο ήταν ακίνητο. Τη στιγμή αυτή αρχίζει να κινείται προς την ίδια κατεύθυνση και το Β αυτοκίνητο και στο διάγραμμα βλέπετε το πώς μεταβάλλονται οι ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση με το χρόνο.

i) Αν η απόσταση των δύο αυτοκινήτων την χρονική στιγμή t₁ είναι d₁, τότε:

α) d₁ <d,   β) d₁ =d,    γ) d₁>d.

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

ii)  Αν τα δυο αυτοκίνητα έχουν ίσες κατά μέτρο επιταχύνσεις και t₁=20s, ενώ η αρχική θέση του Β αυτοκινήτου θεωρηθεί ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x, με θετική την προ τα δεξιά κατεύθυνση, ζητούνται:

α) Οι επιταχύνσεις των αυτοκινήτων.

β) Οι θέσεις των δύο αυτοκινήτων την στιγμή t₁.

γ) Η μέγιστη απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων, μέχρι την στιγμή t₂, στην οποία σταματά το Α αυτοκίνητο να κινείται.

δ) Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων την στιγμή t₂;

Απάντηση:

ή

 Δυο αυτοκίνητα στον ίδιο δρόμο

 Δυο αυτοκίνητα στον ίδιο δρόμο

Κίνηση όταν αλλάζει η επιτάχυνση

  

Ένα σώμα βρίσκεται ακίνητο σε σημείο Ο ενός ευθύγραμμου δρόμου, το οποίο θεωρείται και αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x (x=0), με θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά. Σε μια στιγμή t₀=0 το σώμα αποκτά σταθερή επιτάχυνση α₁=+1,5m/s² μέχρι τη στιγμή t₁=12s, ενώ στη συνέχεια η επιτάχυνση παίρνει τιμή α₂=-2m/s², μέχρι τη στιγμή t₂=25s.

i)  Να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t₁.

ii) Ποια η αντίστοιχη ταχύτητα την στιγμή t₂;

iii) Ποια χρονική στιγμή το σώμα έπαψε να κινείται προς τα δεξιά και κινήθηκε προς τα αριστερά;

iv) Αφού σχεδιάσετε το διάγραμμα υ-t μέχρι τη στιγμή t₂, να βρεθεί η μέγιστη απόσταση d από το Ο, που θα βρεθεί το σώμα.

Απάντηση:

ή

 Κίνηση όταν αλλάζει η επιτάχυνση

 Κίνηση όταν αλλάζει η επιτάχυνση

Αν σχεδιάσεις σωστό διάγραμμα, όλα γίνονται.

 

Ένα παιδί στέκεται στην είσοδο του σπιτιού του (θέση Α), πάνω σε έναν ευθύγραμμο δρόμο. Κάποια στιγμή αρχίζει να περπατά με σταθερή ταχύτητα για χρονικό διάστημα 2τ, διανύοντας απόσταση 100m, φτάνοντας στην θέση Β. Σταματά για χρονικό διάστημα τ και στη συνέχεια αρχίζει να τρέχει προς τα αριστερά, με σταθερή ταχύτητα, διανύοντας απόσταση 160m επίσης σε χρόνο 2τ, σταματώντας στην θέση Γ.

i)  Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες να χαράξετε το διάγραμμα της θέσης του παιδιού σε συνάρτηση με το χρόνο (διάγραμμα x-t), θεωρώντας την θέση Α, ως αρχή του άξονα και την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.

ii) Αν τ=40s να υπολογιστούν:

α) Οι ταχύτητες του παιδιού, καθώς κινείται προς τα δεξιά και για το χρονικό διάστημα που τρέχει προς τα αριστερά.

β)  Ποια χρονική στιγμή το παιδί περνάει ξανά μπροστά από την είσοδο του σπιτιού του (θέση Α), κατά την διάρκεια της κίνησής του προς τα αριστερά;

Απάντηση:

ή

 Αν σχεδιάσεις σωστό διάγραμμα, όλα γίνονται.

 Αν σχεδιάσεις σωστό διάγραμμα, όλα γίνονται. 

Δυο μαθητές περπατούν ευθύγραμμα

Δυο μαθητές, ο Άγγελος (Α) και ο Βασίλης (Β) στέκονται ακίνητοι σε έναν ευθύγραμμο δρόμο. Σε μια στιγμή, έστω t=0, ξεκινούν ταυτόχρονα και οι δύο να κινούνται και παίρνοντας την αρχική θέση του Α, ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x΄x, χαράξαμε τις γραφικές παραστάσεις της θέσης κάθε παιδιού, σε συνάρτηση με το χρόνο, στους ίδιους άξονες x-t, οπότε πήραμε το διπλανό διάγραμμα.

i)  Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις.

α) Αν ο Άγγελος αρχικά βρισκόταν στην αρχή του άξονα, σε ποια θέση βρισκόταν ο Βασίλης;

β) Οι μαθητές κινήθηκαν προς την ίδια κατεύθυνση ή όχι;

γ) Ποιος μαθητής έχει μεγαλύτερη ταχύτητα την χρονική στιγμή t΄= 60s;

δ) Ο Άγγελος κινήθηκε με σταθερή ταχύτητα. Μπορείτε να το δικαιολογήσετε;

ii) Πόσο μετατοπίσθηκε κάθε μαθητής, μέχρι τη στιγμή t₁=50s;

iii) Να υπολογιστούν οι ταχύτητες με τις οποίες κινήθηκαν οι δυο μαθητές.

iv) Πόσο απέχουν μεταξύ τους οι μαθητές την χρονική στιγμή t₂=20s;

Απάντηση:

ή

 Δυο μαθητές περπατούν ευθύγραμμα

 Δυο μαθητές περπατούν ευθύγραμμα

Η κίνηση με την επίδραση δύο ή μιας δύναμης

Ένα σώμα μάζας m=2kg ηρεμεί στο σημείο Α ενός λείου οριζοντίου επιπέδου. Τη στιγμή t₀=0 ασκούνται πάνω του δυο σταθερές οριζόντιες δυνάμεις F₁=3Ν και F₂, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα να κινηθεί προς τα δεξιά διανύοντας απόσταση 9m μέχρι τη στιγμή t₁=6s.

i)   Να υπολογιστούν η επιτάχυνση με την οποία κινήθηκε το σώμα, καθώς και η ταχύτητά του τη στιγμή t₁.

ii)  Ποιο το μέτρο της δύναμης F₂;

iii) Αν τη στιγμή t₁ πάψει να ασκείται η δύναμη F₁, να βρεθούν η ταχύτητα και η θέση του σώματος τις χρονικές στιγμές:

α)  t₂=8s και  β) t₃=12s

Απάντηση:

ή

 Η κίνηση με την επίδραση δύο ή μιας δύναμης   

  Η κίνηση με την επίδραση δύο ή μιας δύναμης 

Παίρνοντας πληροφορίες από δύο διαγράμματα

 Ένα σώμα μάζας m=40kg, ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Μια στιγμή t=0, ασκούμε πάνω του μια οριζόντια δύναμη F, το μέτρο της οποίας μεταβάλλεται, όπως στο πρώτο διάγραμμα. Στο δεύτερο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητα του σώματος στα τέσσερα πρώτα δευτερόλεπτα της κίνησης.

 

i)  Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος από 0-4s.

ii)  Να αποδείξετε ότι το επίπεδο δεν είναι λείο και στη συνέχεια να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης τριβής ολίσθησης.

iii) Για την χρονική στιγμή t₁ που αρχίζει να μεταβάλλεται το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F, ισχύει:

α) t₁ < 4s,   β) t₁ ≥ 4s.

iv) Αν τη στιγμή t₁ το σώμα έχει μετατοπισθεί κατά Δx₁ =4,5m, να βρεθεί η ταχύτητά του υ₁, τη στιγμή αυτή.

v) Να εξετάσετε την ορθότητα ή μη της πρότασης:

«Το σώμα στο χρονικό διάστημα Δt= t₂-t₁ επιβραδύνεται, συνεπώς για τις ταχύτητες στις αντίστοιχες στιγμές ισχύει υ₂ < υ₁ ».

Απάντηση:

ή

 Παίρνοντας  πληροφορίες από δύο διαγράμματα

 Παίρνοντας  πληροφορίες από δύο διαγράμματα

  

Ένα σώμα Α μάζας m₁=m βρίσκεται πάνω σε μια σανίδα μάζας m₂=2m, η οποία ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο.  Κάποια στιγμή t₀=0, ασκούμε κατάλληλη δύναμη στη σανίδα, με αποτέλεσμα να προσδίδουμε την ίδια κοινή  επιτάχυνση α και στα δυο σώματα, με αποτέλεσμα τη στιγμή t΄ το σύστημα να έχει αποκτήσει κοινή ταχύτητα υ. Αν F₁ η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο σώμα Α, στο παραπάνω χρονικό διάστημα και F₂ η αντίστοιχη συνισταμένη που ασκείται στη σανίδα, τότε:

i) Για τα μέτρα των δύο δυνάμεων ισχύει:

α) F₂= ½ F₁,       β) F₂= F₁,        γ) F₂= 2F₁,        δ) F₂= 4F₁.

ii) Για τα αντίστοιχα έργα των δυνάμεων αυτών, στο χρονικό διάστημα 0-t΄,  ισχύει:

α) W₂= ½ W₁,   β) W₂= W₁,     γ) W₂= 2W₁,     δ) W₂= 4W₁.

iii) Για τις κινητικές ενέργειες των σωμάτων την στιγμή t΄, ισχύει:

α) Κ₂= ½ Κ₁,     β) Κ₂= Κ₁,     γ) Κ₂= 2Κ₁,      δ) Κ₂= 4Κ₁.

iv) Αν Ρ₁ η ισχύς της  δύναμης F₁ τη στιγμή t΄ και Ρ₂ η αντίστοιχη ισχύς της F₂, ισχύει:

α) Ρ₂= ½ Ρ₁,     β) Ρ₂= Ρ₁,       γ) Ρ₂= 2Ρ₁,       δ) Ρ₂= 4Ρ₁.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Η κοινή κίνηση δύο σωμάτων

 Η κοινή κίνηση δύο σωμάτων

Η άνοδος και η πτώση ενός σώματος.

  

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί στη θέση Α στο έδαφος, όπου θεωρούμε μηδενική την δυναμική ενέργεια. Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη με φορά προς τα πάνω, μέτρου F=25Ν, μέχρι να ανέβη το σώμα κατά y₁=4m, ερχόμενο στη θέση Γ.

i)  Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F, καθώς και η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή που παύει να ασκείται στο σώμα η δύναμη.

ii) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα;

iii) Με ποια ταχύτητα το σώμα επιστρέφει στο έδαφος;

iv) Να υπολογιστεί το συνολικό έργο του βάρους, από την στιγμή που ξεκινά η άνοδος, μέχρι την επιστροφή του σώματος στο έδαφος.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Η άνοδος και η πτώση ενός σώματος.

 Η άνοδος και η πτώση ενός σώματος.

Το έργο και η Μηχανική ενέργεια

 

Ένα σώμα μάζας m=10kg συγκρατείται στη θέση Α ενός κεκλιμένου  επιπέδου κλίσεως θ=30°. Σε μια στιγμή ασκούμε πάνω του μια σταθερή δύναμη μέτρου F=200/3 Ν, παράλληλη στο επίπεδο, με αποτέλεσμα το σώμα να κινείται κατά μήκος του επιπέδου κατά x₁=1,2m, φτάνοντας στην θέση Γ, οπότε η δύναμη καταργείται. Θεωρούμε το οριζόντιο επίπεδο που περνά από την θέση Α, ως επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας, ενώ δίνονται g=10m/s², ημ30°= ½ και συν30°=√3/2.

i)  Να υπολογιστεί η ενέργεια που μεταφέρθηκε στο σώμα, μέσω του έργου της δύναμης F.

ii) Αφού βρείτε την ταχύτητα υ₁ του σώματος στην θέση Γ, να υπολογίσετε την μηχανική ενέργεια του σώματος στη θέση Γ.

iii) Ποια είναι η μέγιστη απόσταση από την αρχική θέση Α που θα φτάσει το σώμα κατά την άνοδό του στο επίπεδο.

iv) Με ποια ταχύτητα το σώμα επιστρέφει στην αρχική θέση Α;

Απάντηση:

ή

 Το έργο και η Μηχανική ενέργεια

 Το έργο και η Μηχανική ενέργεια

Δύο κινήσεις και τα έργα των δυνάμεων

 

Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται την επίδραση δύο δυνάμεων, όπου η μία έχει μέτρο F₁=20Ν και σχηματίζει γωνία θ, με την οριζόντια διεύθυνση, ενώ η άλλη είναι οριζόντια μέτρου F₂=8Ν, όπως στο σχήμα.

i)  Αν το επίπεδο  είναι λείο, προς τα πού θα κινηθεί το σώμα. Προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;

ii)  Το σώμα μετακινείται κατά Δx₁=8m, μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα υ₁=4m/s. Να υπολογίσετε τα έργα των δύο δυνάμεων, κατά τη διάρκεια της παραπάνω μετακίνησης και να εξετάσετε, με την βοήθεια των παραπάνω έργων, αν το επίπεδο είναι ή όχι λείο.

iii) Αν στην παραπάνω θέση μηδενίζεται η δύναμη F₂, να βρείτε πόσο θα πρέπει να μετατοπισθεί το σώμα, μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα μέτρου υ₂=5m/s.

Δίνεται ημθ=0,6 και συνθ=0,8

Απάντηση:

ή

 Δύο κινήσεις και τα έργα των δυνάμεων

 Δύο κινήσεις και τα έργα των δυνάμεων

Η περιστροφή μιας δοκού

Μια ομογενής δοκός ΑΒ μήκους 2m, περιστρέφεται οριζόντια, γύρω από κατακόρυφο άξονα z, ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Α, σε λείο οριζόντιο επίπεδο (το σχήμα σε κάτοψη). Κάποια στιγμή δέχεται στο άκρο της Β, μια οριζόντια δύναμη F μέτρου F=10Ν, με διεύθυνση κάθετη στη δοκό. Στο διάγραμμα δίνεται η γωνιακή ταχύτητα της δοκού σε  συνάρτηση με το χρόνο. 

i)   Για πόσο χρονικό διάστημα ασκήθηκε στη δοκό η δύναμη F; Να σχεδιάσετε στο πρώτο σχήμα την δύναμη F. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας Κ της δοκού, τη χρονική στιγμή t₁=1s και να την σχεδιάσετε στο σχήμα.

ii) Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς τον άξονα περιστροφής της.

iii) Ελευθερώνουμε την ράβδο από τον άξονα z και την θέτουμε σε περιστροφή για t=0, γύρω από άλλον κατακόρυφο άξονα z₁, ο οποίος περνά από το μέσον της Κ, με την επίδραση της ίδιας δύναμης F, η οποία ασκείται ξανά στο άκρο Β, κάθετα στον άξονα της δοκού, όπως στο δεύτερο σχήμα (ξανά σε κάτοψη). Αν η δοκός έχει μάζα m=15kg. Να υπολογιστούν τη χρονική στιγμή t₂=3s:

α) Η γωνιακή επιτάχυνση της  δοκού.

β) Η γωνιακή της ταχύτητα της δοκού και η ταχύτητα του άκρου Α.

γ) η γωνία κατά την οποία έχει περιστραφεί η δοκός.

Απάντηση:

ή

 Η περιστροφή μιας δοκού

 Η περιστροφή μιας δοκού

Ισορροπία και κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο

 

Ένα σώμα Σ ισορροπεί στο σημείο Ο ενός λείου κεκλιμένου επιπέδου, κλίσεως θ=30°, με την επίδραση δύναμης F παράλληλης στο επίπεδο, μέτρου F=5Ν, όπως στο σχήμα.

i)  Να βρεθεί η μάζα του σώματος Σ.

ii) Σε μια στιγμή t₀=0, αυξάνουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F₁=6Ν. Να βρεθεί η ταχύτητα και η μετατόπιση του σώματος τη χρονική στιγμή t₁=2s.

iii) Τη στιγμή t₁ αλλάζει το μέτρο της δύναμης, με αποτέλεσμα το σώμα να σταματήσει την άνοδό του στο κεκλιμένο επίπεδο τη χρονική στιγμή t₂=3s.

α) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F₂ στο παραπάνω διάστημα από t₁ έως t₂.

β) Ποια η μέγιστη απόσταση από την αρχική θέση Ο, στην οποία φτάνει το σώμα Σ.

Δίνεται g=10m/s², ενώ ημθ= ½ και συνθ =√3/2.

Απάντηση:

ή

  Ισορροπία και κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο

  Ισορροπία και κίνηση σε κεκλιμένο επίπεδο

Τραβώντας ένα κιβώτιο

  

Σε οριζόντιο επίπεδο ηρεμεί ένα μεγάλο κιβώτιο μάζας Μ. Ένας άνθρωπος μάζας 3Μ, δένει το κιβώτιο με ένα σχοινί, αμελητέας μάζας, και τραβώντας το άκρο του, προσπαθεί να το μετακινήσει. Δίνεται ότι ο συντελεστής οριακής  στατικής τριβής, ίσος με τον συντελεστή τριβής ολίσθησης, τόσο μεταξύ κιβωτίου και επιπέδου, όσο και μεταξύ παπουτσιών του ανθρώπου και του επιπέδου, έχει τιμή μ.

i) Η μέγιστη δύναμη F που μπορεί να ασκήσει στο σχοινί, χωρίς να μετακινηθεί κανένα σώμα, έχει μέτρο:

α) F= μΜg,    β) F=2μΜg,   γ) F=3μΜg,    δ) F=4μΜg.

ii) Αν μ=0,2 και g=10m/s², τότε η μέγιστη επιτάχυνση που μπορεί να αποκτήσει το κιβώτιο, έχει μέτρο:

α) α=1m/s²,    β) α=2m/s²,     α) α=3m/s²,     α) α=4m/s².

Απάντηση:

ή

 Τραβώντας ένα κιβώτιο

 Τραβώντας ένα κιβώτιο