Δευτέρα, 14 Δεκεμβρίου 2009

Ελεύθερη πτώση.

Αφήνουμε ένα σώμα να πέσει ελεύθερα και η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. Τι κίνηση κάνει; Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη (επιταχυνόμενη) και, αν όπως γράφει και το σχολικό βιβλίο, στις εξισώσεις της ΕΟΕΚ θέσουμε υ0=0 και α=g παίρνουμε:
υ=υ0+ α·t υ=g∙t (1)
Δx=υ0∙t + ½ α∙t2  Δx= ½ g∙t2  (2)
Τι μας δείχνει η εξίσωση (2); Το βιβλίο το ονομάζει διάστημα και το συμβολίζει με s. Είναι διάστημα; Προφανώς ναι, Με την διαφορά ότι το βγάζει από τις εξισώσεις της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης, όπου εκεί οι μαθητές έχουν μάθει να μιλάνε για μετατόπιση. Δεν είναι μετατόπιση αυτή; Και βέβαια είναι. Γιατί λοιπόν μα μην την πούμε απλά μετατόπιση και να την συμβολίσουμε όπως της πρέπει; Πώς; Μα Δy, αφού η κίνηση γίνεται στον άξονα y;
Μήπως έχουμε μάθει το παιδί να δουλεύει  στην ευθύγραμμη κίνηση χρησιμοποιώντας τον προσανατολισμένο άξονα x και τώρα θεωρούμε ότι δεν πρέπει να του πούμε, ότι η κίνηση μπορεί να γίνεται και στον κατακόρυφο άξονα y;
Όποιος έχει διδάξει στην Α΄Λυκείου, θα έχει διαπιστώσει ότι πολύ συχνά γίνεται και μπέρδεμα μεταξύ του διαστήματος s και του ύψους h από το οποίο πέφτει το σώμα.
Έτσι πολύ συχνά γράφεται h= ½ g·t (3).
Είναι σωστό; Ναι σε κάποια περίπτωση. Αν το σώμα αφεθεί να πέσει από ύψος h από το έδαφος, για την στιγμή που φτάνει στο έδαφος η εξίσωση (3) ισχύει.
Η πρόταση:



Μελετάμε την ελεύθερη πτώση, θεωρώντας μια κίνηση στον κατακόρυφο άξονα y, θέτοντας την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική και την αρχική θέση, που το σώμα ξεκινά την κίνησή του ως y0=0, με αποτέλεσμα οι εξισώσεις να είναι:
υ=g∙t (1α)
y= ½ g∙t2  (2β)

Εφαρμογή

Ένα σώμα αφήνεται τη χρονική στιγμή t0=0, να πέσει ελεύθερα από ύψος Η=45m από το έδαφος. Αν g=10m/s2 και η αντίσταση του αέρα θεωρηθεί αμελητέα, ζητούνται:
  1. Να βρεθεί η τιμή της ταχύτητας και το ύψος από το έδαφος τη χρονική στιγμή t1=2s.
  2. Ποια χρονική στιγμή και με ποια ταχύτητα το σώμα φτάνει στο έδαφος;
  3. Να γίνουν τα διαγράμματα σε συνάρτηση με το χρόνο:    
α) της μετατόπισης του σώματος.
β) της απόστασης του σώματος από το έδαφος (ύψος) .

Απάντηση:

1)     Το σώμα αφήνεται να κινηθεί από το σημείο Ο και θα κινηθεί κατακόρυφα στον άξονα y. Θέτουμε για το σημείο Ο, y0=0 και θεωρούμε την προς τα κάτω κατεύθυνση ως θετική. Έτσι μετά από χρονικό διάστημα Δt=t-t0= t το σώμα βρίσκεται στο σημείο Α, στη θέση y και ισχύουν:
υ=g∙t (1α)
y= ½ g∙t2  (2β)
Θέτοντας t1 =2s παίρνουμε:
υ1= 10∙2m/s = 20 m/s και
y1= ½ 10∙22m= 20m
υ=g∙t (1α)
y= ½ g∙t2  (2β)
Θέτοντας t1 =2s παίρνουμε:
υ1= 10∙2m/s = 20 m/s και
y1= ½ 10∙22m= 20m
Το σώμα λοιπόν τη στιγμή t1=2s πέφτει με ταχύτητα 2m/s και απέχει από το έδαφος ύψος h, όπου:
h =Η-y= 45m-20m= 25m.
2)     Τη στιγμή που το σώμα φτάνει στο έδαφος y=Η και από την εξίσωση (2 α) παίρνουμε:
Η= ½ g∙t2 

Έτσι η ταχύτητα πρόσκρουσης του σώματος με το έδαφος είναι:
υ2= gt2= 10·3m/s = 30m/s.
3)     Με βάση τα παραπάνω έχουμε ότι η μετατόπιση δίνεται από την σχέση:
y = ½ g∙t2,
ενώ το ύψος από το έδαφος είναι
h=Η-y= Η- ½ g∙t2.
Έτσι οι ζητούμενες γραφικές παραστάσεις είναι:

Μπορεί κάποιος να υποστηρίξει ότι πολύ φασαρία για το τίποτα. Θεωρώ ότι τα πράγματα δεν είναι έτσι, αν θέλουμε να πάμε ένα βήμα πιο πέρα και να μελετήσουμε την περίπτωση που το σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα με αρχική ταχύτητα (κατακόρυφη βολή). Αλλά αυτά σε μια νέα ανάρτηση.
Μπορείτε να το κατεβάσετε και σε pdf.

1 σχόλιο:

  1. Γραφική παράσταση της μετατοπισης με το χρόνο δεν έχει νόημα . Η μετατόπιση ΔΕΝ είναι στιγμιαίο μέγεθος.Πρέπει να γραφτεί θέση και το σύμβολο y όχι Δy.

    ΑπάντησηΔιαγραφή