Από την ταχύτητα, στη μάζα του σώματος

 

Δυο σώματα Α και Β  ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ  συνδέονται με ένα αβαρές και μη εκτατό νήμα. Σε μια στιγμή t₀=0 ασκούμε στο σώμα Α μια σταθερή οριζόντια δύναμη F, η οποία έχει την διεύθυνση του νήματος, οπότε το σύστημα αρχίζει να κινείται προς τα δεξιά, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t₁=2s, το νήμα που συνδέει τα δυο σώματα κόβεται, ενώ η δύναμη F, συνεχίζει να επιταχύνει μόνο το Α  σώμα, το οποίο έχει μάζα Μ=3kg. Στο διάγραμμα βλέπουμε πώς μεταβάλλεται η ταχύτητα του σώματος Α σε συνάρτηση με το χρόνο.

i) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του Α σώματος από 0-2s και από 2s-4s.

ii) Να βρεθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F.

iii) Πόση είναι η μάζα m του Β σώματος;

iv) Να γίνει η γραφική παράσταση υ_Β=f(t), της ταχύτητας του Β σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο για το χρονικό διάστημα 0-6s.

Απάντηση:

ή

Από την ταχύτητα, στη μάζα του σώματος

Από την ταχύτητα, στη μάζα του σώματος

Σπρώχνοντας δύο κιβώτια

 

Ένα παιδί σπρώχνει σε οριζόντιο επίπεδο δύο μεγάλα κιβώτια Α και Β, τα οποία βρίσκονται σε επαφή, ασκώντας σταθερή οριζόντια δύναμη F, πρώτα στο κιβώτιο Α, όπως στο πάνω σχήμα, οπότε το Α αποκτά επιτάχυνση μέτρου α1. Αν την ίδια οριζόντια δύναμη την ασκήσει στο Β κιβώτιο, όπως στο κάτω σχήμα, τότε αυτό αποκτά επιτάχυνση μέτρου α2. Δίνεται ότι το Α κιβώτιο έχει μεγαλύτερη μάζα από το Β, ενώ τα κιβώτια δεν παρουσιάζουν τριβές με το οριζόντιο επίπεδο.

i) Για τα μέτρα των δύο παραπάνω επιταχύνσεων ισχύει:

α) α1 < α2,       ‎ β) α1= α2,         γ) α1 > α2.

ii)  Αν F1 η δύναμη που ασκεί το κιβώτιο Α στο Β στην πάνω εικόνα  και F2 η αντίστοιχη δύναμη στην κάτω, τότε:

 α) Να σχεδιάσετε στο σχήμα τις δυνάμεις F1 και F2.

 β) Για τα μέτρα των παραπάνω δυνάμεων θα ισχύει:

β1) F1 < F2,         β2) F1 = F2,          β3) F1 > F2.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Σπρώχνοντας δύο κιβώτια

Σπρώχνοντας δύο κιβώτια

Στην καρότσα ενός φορτηγού.

 

Ένα σώμα Σ μάζας 5kg μεταφέρεται στην λεία καρότσα ενός φορτηγού το οποίο κινείται σε ευθύγραμμο οριζόντιο δρόμο με σταθερή επιτάχυνση α=0,8m/s². Το σώμα είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=40Ν/m, το οποίο έχει επιμηκυνθεί κατά Δl=0,15m και στο άκρο οριζόντιου νήματος, όπως στο σχήμα.

i)  Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που το  ελατήριο ασκεί στο σώμα Σ, καθώς την τάση του νήματος.

ii) Ποια τα μέτρα των δύο παραπάνω δυνάμεων, αν το φορτηγό σταματήσει να επιταχύνεται, κινούμενο με σταθερή ταχύτητα;

iii) Αν το φορτηγό αυξήσει σιγά – σιγά την επιτάχυνσή του, να υπολογισθεί η μέγιστη δυνατή επιτάχυνση που μπορεί να αποκτήσει, χωρίς να μεταβληθεί το μήκος του ελατηρίου.

iv) Τι πρόκειται να συμβεί αν το φορτηγό αυξήσει την επιτάχυνσή του στην τιμή α₁=2m/s²;

Απάντηση:

ή

Στην καρότσα ενός φορτηγού.

Στην καρότσα ενός φορτηγού.

Ο μέγιστος και ο ελάχιστος χρόνος για μια διαδρομή

 Τριγωνική ανισότητα.

«Σε κάθε ένα τρίγωνο, το μήκος κάθε πλευράς είναι μικρότερο από το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο πλευρών, καθώς και μεγαλύτερο από τη διαφορά τους».

Έτσι αν πάρουμε το διπλανό  τρίγωνο, θα ισχύει π.χ. για την πλευρά α:

β-γ < α < β+γ

Όμοια και για τις άλλες πλευρές του τριγώνου.

 

Εφαρμογή.

Σε ένα σώμα μάζας m=4kg, το οποίο ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάμεις με μέτρα F₁=6Ν και F₂=10Ν, οι οποίες το μετακινούν κατά Δx=8m.

i)  Ποιος ο ελάχιστος χρόνος για την παραπάνω μετατόπιση;

ii) Ποιος ο μέγιστος χρόνος που μπορεί να απαιτηθεί για την μετατόπιση αυτή;

iii) Αν οι δυο δυνάμεις είναι κάθετες μεταξύ τους, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη), σε πόσο χρονικό διάστημα το σώμα θα διανύσει την απόσταση των 8m;

Απάντηση:

ή

Ο μέγιστος και ο ελάχιστος χρόνος για μια διαδρομή

Ο μέγιστος και ο ελάχιστος χρόνος για μια διαδρομή

Όταν παύει να ασκείται η μία δύναμη

  

Ένα σώμα ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, όταν κάποια  στιγμή δέχεται  δύο οριζόντιες δυνάμεις με αντίθετες κατευθύνσεις, όπως στο σχήμα. Στο διάγραμμα δίνεται το πώς μεταβάλλεται η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, όταν τη στιγμή t₁ παύει να ασκείται η μια από τις παραπάνω δυνάμεις. Δίνεται ότι η κατεύθυνση προς δεξιά θεωρείται θετική και ότι η δύναμη F₁ έχει σταθερό μέτρο.

i)  Η δύναμη F₂ έχει σταθερό μέτρο ή είναι μεταβλητή;

ii) Ποια δύναμη έπαψε να ασκείται στο σώμα τη  στιγμή t₁;

iii) Αν t₂=1,5t₁, τότε για τα μέτρα των δύο δυνάμεων ισχύει:

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Όταν παύει να ασκείται η μία δύναμη

 Όταν παύει να ασκείται η μία δύναμη

Δυο παιδιά περπατούν

 

Δυο παιδιά, ο Άγγελος (Α) και ο Βαλέριος (Β), κινούνται σε έναν ευθύγραμμο δρόμο και σε μια στιγμή t₀=0 περνούν από ένα σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x (x_O=0), με θετική φορά προς τα δεξιά. Στο διπλανό διάγραμμα βλέπουμε πώς μεταβάλλεται η ταχύτητα καθενός παιδιού, σε συνάρτηση με το χρόνο.)

i)  Να βρεθούν οι θέσεις των δύο παιδιών και η  απόσταση μεταξύ τους  τη χρονική στιγμή t₁=10s.

ii)  Ποια χρονική στιγμή t₂ η ταχύτητα του Βαλέριου είναι ίση με υ₂=+0,4s; Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο παιδιών τη στιγμή αυτή;

iii) Αφού βρείτε (και δικαιολογήσετε) ποια χρονική στιγμή τα δυο παιδιά απέχουν την μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ τους, να υπολογιστεί η  μέγιστη αυτή απόσταση, για το χρονικό διάστημα που προηγείται ο Άγγελος.

iv) Να βρείτε μια συνάρτηση d=f(t) που δίνει την απόσταση των δύο παιδιών σε συνάρτηση με το χρόνο και να κάνετε  τη γραφική της παράσταση, στο χρονικό διάστημα από 0-25s.

Απάντηση:

ή

 Δυο παιδιά περπατούν

 Δυο παιδιά περπατούν

Δύο ευθύγραμμες κινήσεις

  Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται δύο αυτοκίνητα Α και Β και σε μια στιγμή περνάνε από το ίδιο σημείο Ο (έστω τη χρονική στιγμή t₀=0, ενώ και  x₀=0 με θετική φορά του άξονα προς τα δεξιά). Στο σχήμα βλέπουμε πώς μεταβάλλονται οι ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση με το χρόνο.

 

Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας σύντομες επεξηγήσεις, όπου απαιτούνται.

i) Τα δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται στην θέση Ο τη στιγμή t=0.

ii) Το Α αυτοκίνητο απέχει την μεγαλύτερη απόστασή του από το Ο τη χρονική στιγμή 2τ.

iii) Το αυτοκίνητο Β κινείται προς τα αριστερά για χρονικό διάστημα Δt=2τ.

iv) Τα δύο αυτοκίνητα επιταχύνονται κατά ίσα χρονικά διαστήματα, έχοντας επιταχύνσεις με ίσα μέτρα.

v) Το Α αυτοκίνητο  δεν ξαναπερνά από τη θέση Ο (x=0).

vi) Τα δυο αυτοκίνητα διασταυρώνονται ξανά  τη χρονική στιγμή t=4τ.

Απαντήσεις.

   ή

Δύο  ευθύγραμμες κινήσεις

Δύο  ευθύγραμμες κινήσεις

Δύο κινήσεις αυτοκινήτων

 

Κατά μήκος ενός ευθύγραμμου δρόμου κινούνται δυο αυτοκίνητα Α και Β, προς την ίδια κατεύθυνση. Παίρνοντας ως t₀ =0 τη στιγμή που τα δυο οχήματα παιρνούν από ένα  σημείο Ο, το οποίο λαμβάνουμε ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x΄x, χαράσσουμε το διπλανό διάγραμμα για τις ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων.

i) Να βρείτε τις επιταχύνσεις των αυτοκινήτων, για όσο χρονικό διάστημα το καθένα επιταχύνεται.

ii) Πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δύο οχήματα τη στιγμή t₁=10s;

iii) Να βρεθούν οι θέσεις των δύο αυτοκινήτων, τη στιγμή που σταματά το Β να κινείται. Ποια η νέα απόσταση μεταξύ τους;

Απάντηση:

ή

 Δύο κινήσεις αυτοκινήτων

Δύο κινήσεις αυτοκινήτων

Από ένα διάγραμμα ταχύτητας

 

Για ένα αυτοκίνητο, το οποίο κινείται ευθύγραμμα, μας δίνουν το διάγραμμα της ταχύτητάς του σε συνάρτηση με το χρόνο. Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις, δίνοντας και σύντομες επεξηγήσεις. 

i) Το αυτοκίνητο έχει κατά μέτρο μεγαλύτερη επιτάχυνση στο χρονικό διάστημα 2λ-3λ, παρά στο διάστημα 0-2λ. 

ii) Τη στιγμή 3λ το αυτοκίνητο επιστρέφει στην αρχική του θέση. 

iii) Το αυτοκίνητο διανύει διπλάσια απόσταση επιταχυνόμενο, σε σχέση με τη αντίστοιχη απόσταση που διανύει κατά την επιβράδυνσή του. 

Απάντηση: 

ή

 Από ένα διάγραμμα ταχύτητας

 Από ένα διάγραμμα ταχύτητας

Μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

 

Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο προς τα δεξιά και σε μια στιγμή t0=0, απέχει 100m, από έναν μαθητή που στέκεται στην άκρη του δρόμου. Η ταχύτητά του τη στιγμή αυτή έχει μέτρο 15m/s, ενώ το αυτοκίνητο κινείται με σταθερή επιτάχυνση, επίσης προς τα δεξιά, μέτρου α=1m/s2.  Ζητούνται: 

i)  Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του αυτοκινήτου τη χρονική στιγμή t1=4s. 

ii) Πόσο απέχει το αυτοκίνητο από το μαθητή, τη στιγμή που έχει αποκτήσει ταχύτητα υ2=20m/s; 

iii) Ποια χρονική στιγμή t3 το αυτοκίνητο απέχει 300m από τον μαθητή και τι ταχύτητα έχει τη στιγμή αυτή; 

Απάντηση:

ή

 Μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

 Μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση