Δυο κάθετες δυνάμεις επιταχύνουν ένα σώμα

  

Ένα σώμα μάζας m=6,25kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στην κορυφή Α ενός ορθογωνίου με πλευρές (ΑΒ)=8m και (ΑΔ)=6m Σε μια στιγμή t_ο=0 ασκούνται πάνω του δυο σταθερές οριζόντιες δυνάμεις, κάθετες μεταξύ τους,  όπως στο σχήμα (σε κάτοψη) F₁=4Ν και F₂, με αποτέλεσμα το σώμα να κινηθεί ευθύγραμμα και μετά από λίγο να φτάνει στην απέναντι κορυφή Γ. 

i)  Να αποδείξετε ότι η δύναμη F₂ έχει μέτρο F₂=3Ν.

ii)  Αφού υπολογίσετε την επιτάχυνση με την οποία κινήθηκε το σώμα, να βρείτε ποια χρονική στιγμή t₁ το σώμα φτάνει στην κορυφή Γ και με ποια ταχύτητα.

iii) Αν τη στιγμή t₁ σταματούσε να ασκείται στο σώμα η δύναμη F₂:

α)  ποιο από τα διανύσματα (1), (2), (3) και (4) παριστάνει:

α₁) την ταχύτητα   και    α₂) την  επιτάχυνση του σώματος

αμέσως μετά την στιγμή t₁ (t₁⁺).

β) Μετά τη στιγμή t₁ το σώμα θα κινηθεί ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενα ή όχι; Να εξηγήσετε την άποψή σας.

iv) Αν στο σώμα δεν ασκείτο καθόλου η δύναμη F₂, να βρείτε την θέση και την ταχύτητα του σώματος την στιγμή t₁, με την άσκηση μόνο της δύναμης F₁.

Απάντηση:

ή

 Δυο κάθετες δυνάμεις επιταχύνουν ένα σώμα

 Δυο κάθετες δυνάμεις επιταχύνουν ένα σώμα

Μια κίνηση σώματος σε οριζόντιο επίπεδο

  

Ένα σώμα μάζας m=10kg, ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο στο σημείο Ο. Κάποια στιγμή t_ο=0 δέχεται την επίδραση δύο σταθερών οριζόντιων δυνάμεων F₁ και F₂, με αποτέλεσμα να κινηθεί ευθύγραμμα κατά μήκος μιας ευθείας (ε) και τη στιγμή t₁=5s, να έχει μετατοπισθεί κατά x₁=5m, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Η δύναμη F₁ σχηματίζει γωνία θ με την ευθεία (ε), όπου ημθ=0,6 και συνθ=0,8, ενώ η δύναμη F₂ είναι κάθετη στην ευθεία (ε).

i)  Να υπολογισθεί η επιτάχυνση του σώματος και η ταχύτητά του την στιγμή t₁.

ii) Να βρεθεί (μέτρο και κατεύθυνση) η δύναμη που επιταχύνει το σώμα.

iii) Να υπολογιστούν τα μέτρα των δύο ασκούμενων δυνάμεων F₁ και F₂.

Απάντηση:

ή

 Μια κίνηση σώματος σε οριζόντιο επίπεδο

 Μια κίνηση σώματος σε οριζόντιο επίπεδο

Ο 1ος και ο 2ος νόμος του Νεύτωνα

 

Ένα σώμα μάζας m=4kg  ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση δύο οριζόντιων δυνάμεων με αντίθετες κατευθύνσεις F₁ και F₂, όπως στο σχήμα. Η δύναμη F₂ έχει σταθερό μέτρο F₂=16Ν, ενώ το μέτρο της F₁ μπορεί να μεταβάλλεται. Στο διάγραμμα δίνεται η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, όπου η προς τα  δεξιά κατεύθυνση λαμβάνεται ως θετική, ενώ το σώμα αρχίζει να κινείται τη στιγμή t=4s.

i)  Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης F₁ τη χρονική στιγμή t₁=3s.

ii) Υποστηρίζεται ότι το μέτρο της  δύναμης F₁ αυξάνεται στο χρονικό διάστημα από 4s-8s. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; Να υπολογιστεί το μέτρο  της δύναμης F₁ τη χρονική στιγμή t₂=5s.

iii) Να βρείτε την χρονική στιγμή t₃ που το σώμα έχει μετατοπισθεί κατά x₃=10m και στη συνέχεια να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F₁, τη στιγμή αυτή.

iv) Αν τη χρονική στιγμή t=12s πάψει να ασκείται στο σώμα η δύναμη F₁, να υπολογιστεί η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t₄=14s.

Απάντηση:

ή

 Ο 1ος και ο 2ος νόμος του Νεύτωνα

 Ο 1ος και ο 2ος νόμος του Νεύτωνα

Και μία και δύο δυνάμεις

 

Ένα σώμα ηρεμεί πάνω σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή δέχεται μια οριζόντια σταθερή δύναμη F₁, όπως στο σχήμα, ενώ τη στιγμή t₁, ενώ ασκείται πάνω του η δύναμη F₁, δέχεται μια ακόμη οριζόντια δύναμη F₂, της ίδιας διεύθυνσης. Στο διάγραμμα βλέπετε πώς μεταβάλλεται σε συνάρτηση με το χρόνο, η ταχύτητα του σώματος, μέχρι να σταματήσει το σώμα τη στιγμή 2t₁.

i) Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα την  δύναμη F₂ και να εξηγήσετε  γιατί αυτή έχει σταθερό μέτρο.

ii) Για τα μέτρα των δύο δυνάμεων ισχύει:

α) |F₁|= |F₂|,   β)  |F₁|=2|F₂|,     γ) 2|F₁|= |F₂|_.

iii) Αν την στιγμή t₁ που ασκείται στο σώμα η δύναμη F₂ σταματούσε η δράση της δύναμης  F₁, να σχεδιάσετε ξανά το διάγραμμα της ταχύτητας του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι να μηδενιστεί η ταχύτητα του σώματος, όπου σταματά να ασκείται και η δύναμη F₂.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

 Και μία και δύο δυνάμεις

 Και μία και δύο δυνάμεις

Ένα σώμα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω.

Ένα  σώμα μάζας 1,2kg ηρεμεί στο έδαφος. Σε μια στιγμή t₀=0, ασκούμε πάνω του μια σταθερή κατακόρυφη δύναμη, με φορά προς τα πάνω, μέτρου F=18Ν, μέχρι τη στιγμή t₁=4s, όπου η δύναμη F, καταργείται.

i)  Να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος την  στιγμή t₁, καθώς και το ύψος από το έδαφος που βρίσκεται.

ii) Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή το σώμα θα πάψει να ανέρχεται και σε ποιο ύψος βρίσκεται τη στιγμή αυτή το σώμα;

iii) Να βρεθούν οι χρονικές στιγμές όπου το σώμα περνά από μια θέση Γ, σε ύψος 55m. Με ποια ταχύτητα περνά το σώμα από την θέση Γ;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Ένα σώμα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω.

 Ένα σώμα κινείται κατακόρυφα προς τα πάνω.

 

Εφαρμογές του 2ου νόμου του Νεύτωνα

 

Ένα σώμα Α μάζας Μ=2kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Σε μια στιγμή t=0 δέχεται την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης F με μέτρο F=6Ν, με αποτέλεσμα να κινηθεί.

i)  Να εξηγήσετε γιατί η κίνηση του σώματος θα είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη.

ii) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος και τη μετατόπισή του τη χρονική στιγμή t₁=2s.

iii) Αν την στιγμή t₁ πάψει να ασκείται η δύναμη F, να γίνει το διάγραμμα της ταχύτητας του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t₂=4s. Ποια η μετατόπιση του σώματος την στιγμή t₂;

iv) Επαναλαμβάνουμε το πείραμα, αλλά τώρα πάνω στο σώμα Α, τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Β, οπότε με την άσκηση της ίδιας δύναμης F, βλέπουμε τα δυο σώματα να κινούνται μαζί, διανύοντας απόσταση 4m, μέχρι τη στιγμή t₁.

α) Να υπολογιστεί η μάζα m του σώματος Β.

β) Να υπολογιστεί η κατεύθυνση και το μέτρο της δύναμη F_Β που επιταχύνει το σώμα Β. Ποιος μπορεί να ασκεί στο σώμα Β, την δύναμη αυτή;

Απάντηση:

ή

 Εφαρμογές του 2ου νόμου του Νεύτωνα

 Εφαρμογές του 2ου νόμου του Νεύτωνα

Το ελατήριο και οι δυνάμεις

 

Ένα ιδανικό ελατήριο (απόλυτα ελαστικό με αμελητέο βάρος), κρέμεται από το ταβάνι, όπως στο σχήμα, έχοντας το φυσικό μήκος του l₀=20cm Ασκώντας με το χέρι μας στο κάτω άκρο του, μια κατακόρυφη δύναμη F₁ μέτρου F₁=5Ν, το ελατήριο αποκτά μήκος l₁=25cm.

i)  Γνωρίζοντας ότι για την παραμόρφωση του ελατηρίου ισχύει ο νόμος του Ηοοke F=k∙Δl, να βρεθεί η σταθερά k  του ελατηρίου.

ii) Αυξάνουμε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης, οπότε το ελατήριο αποκτά μήκος 28cm. Ποιο το μέτρο της δύναμης F₂ που ασκήσαμε;

iii) Παύουμε να τραβάμε το ελατήριο και δένουμε στο άκρο του ένα σώμα Σ, το οποίο αφήνουμε να ηρεμήσει, οπότε βλέπουμε το ελατήριο να έχει ξανά μήκος l₁. Λαμβάνοντας υπόψη ότι αν το σώμα Σ ασκεί μια δύναμη F=k∙Δl στο ελατήριο, τότε το ελατήριο ασκεί μια αντίθετη δύναμη, με το ίδιο μέτρο, την οποία ονομάζουμε δύναμη του ελατηρίου |F_ελ|=k∙|Δl|, στο σώμα Σ, να υπολογιστεί το βάρος του σώματος Σ.

iv) Υποστηρίζεται ότι «ένα σώμα, όπως το σώμα Σ, μπορεί να ασκεί στο ελατήριο δύναμη ίση με το βάρος του». Για να δούμε αν η πρόταση αυτή είναι σωστή ή όχι, τραβάμε το σώμα προς τα κάτω και σε μια στιγμή το αφήνουμε να κινηθεί. Παίρνουμε το σώμα στις θέσεις Β και Γ, όπου τα μήκη του ελατηρίου είναι l_Β=30cm και l_Γ=16cm.

 

α) Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που το σώμα ασκεί στο ελατήριο, στις θέσεις αυτές, σχεδιάζοντάς τις πάνω στο σχήμα.

β) Να σχεδιάσετε και τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Σ και να βρείτε την συνισταμένη τους, στις θέσεις Β και Γ.

v) Ελευθερώνουμε το ελατήριο και κρατώντας με το χέρι μας το πάνω άκρο του, δένουμε το σώμα Σ στο κάτω άκρο του. Να βρείτε το σταθερό μήκος του ελατηρίου, αν τραβάμε προς τα πάνω, με αποτέλεσμα το σώμα να κινείται κατακόρυφα με σταθερή ταχύτητα υ=0,4m/s.

Απάντηση:

ή

 Το ελατήριο και οι δυνάμεις

 Το ελατήριο και οι δυνάμεις

Οι κινήσεις δύο κινητών και τα διαγράμματα x-t.

 

Κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα x κινούνται δυο κινητά Α και Β, όπου οι γραφικές παραστάσεις την θέσης τους σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνονται στο διπλανό σχήμα. Τη στιγμή t=0 το ένα κινητό έχει διπλάσια ταχύτητα από το άλλο.

i)  Ποιο κινητό έχει μεγαλύτερη ταχύτητα τη στιγμή t=0 και γιατί;

ii) Αν για το κινητό Α η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία, να δικαιολογήσετε γιατί η ταχύτητά του παραμένει σταθερή. Στη συνέχεια να υπολογιστούν οι ταχύτητες των δύο κινητών τη στιγμή t=0.

iii) Αν η επιτάχυνση του Β κινητού παραμένει σταθερή, να υπολογιστεί η αλγεβρική της τιμή. Ποια η ταχύτητα του κινητού Β τη στιγμή t₁=10s;

iv) Να βρεθούν οι χρονικές στιγμές, όπου τα δύο κινητά έχουν ταχύτητες:

    α) ίσες,   

    β) αντίθετες.

Απάντηση:

ή

 Οι κινήσεις δύο κινητών και τα διαγράμματα x-t.

 Οι κινήσεις δύο κινητών και τα διαγράμματα x-t.

Μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

 

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα x και την στιγμή t=0 περνά από την αρχή του άξονα, κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου 4m/s έχοντας και επιτάχυνση αντίθετης κατεύθυνσης μέτρου 0,5m/s², η οποία παραμένει στη συνέχεια σταθερή.

i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα και η θέση του  σώματος τις χρονικές στιγμές:

α) t₁=4s  και   β) t₂= 12s.

ii) Αφού συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, για τις ταχύτητες και τις θέσεις του σώματος, κάποιες χρονικές στιγμές, στη συνέχεια με την βοήθεια του πίνακα, να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της ταχύτητα και της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

Παρατηρείστε ότι υπάρχει ένα κενό κελί στην στήλη των χρονικών στιγμών. Μπορείτε να το συμπληρώστε με μια χαρακτηριστική χρονική  στιγμή, απαραίτητη για την σωστή χάραξη των γραφικών παραστάσεων;

iii) Μπορείτε να περιγράψετε την κίνηση του σώματος από 0-18s, με όρους «επιταχυνόμενης» ή «επιβραδυνόμενης» κίνησης;

Απάντηση:

ή

 Μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

 Μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

Η απόσταση και η μέγιστη απόσταση δύο αυτοκινήτων

 

 Ένα αυτοκίνητο Α βρίσκεται ακίνητο μπροστά από ένα φανάρι που έχει ανάψει «κόκκινο», σε ένα ευθύγραμμο δρόμο. Τη στιγμή t=0 που το φανάρι γίνεται «πράσινο», ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β περνά ακριβώς δίπλα του, κινούμενο με σταθερή ταχύτητα υ₂=20m/s, ενώ το Α αρχίζει να κινείται με σταθερή επιτάχυνση α=2m/s².

i)  Να υπολογιστεί η απόσταση d₁ μεταξύ των δύο αυτοκινήτων τη χρονική στιγμή t₁=6s;

ii) Μπορείτε να προβλέψετε αν η απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων θα έχει αυξηθεί (d₂>d₁) τη χρονική  στιγμή t₂=7s, χωρίς να προβείτε στον υπολογισμό της νέας απόστασης;

 iii) Ποια είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων, μέχρι τη στιγμή που θα βρεθούν το ένα δίπλα στο άλλο.

iv) Ποια χρονική στιγμή το Α αυτοκίνητο θα προφτάσει το Β και σε πόση απόσταση από το φανάρι;  Ποια η ταχύτητα του Α αυτοκινήτου τη στιγμή αυτή;

v) Να γίνει η γραφική παράσταση της απόστασης μεταξύ των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση με το χρόνο μέχρι την στιγμή που το Α φτάνει το Β.

Απάντηση

ή

 Η απόσταση και η μέγιστη απόσταση δύο αυτοκινήτων

 Η απόσταση και η μέγιστη απόσταση δύο αυτοκινήτων