Άσκηση κινηματικής Ένα κουκουνάρι αφήνεται από βράχο απόκρημνης ακτής

Από ένα ψηλό βράχο μιας απόκρημνης ακτής, και από ύψος h =80m αφήνεται την χρονική στιγμή t =0s , να πέσει ελεύθερα ένα κουκουνάρι.

1) Ποια χρονική στιγμή t₁ φτάνει το κουκουνάρι στην επιφάνεια της θάλασσας και με πόση ταχύτητα U₁; ( Αντίσταση του αέρα ασήμαντη g=10m/s²)

Φτάνοντας στο νερό και στην είσοδό του σ’ αυτό χάνει λόγω αντίστασης από το νερό, κάμποση κινητική ενέργεια. Έτσι στη συνέχεια προχωρεί στο νερό με ταχύτητα U₂ ίση με τα 3/4 της ταχύτητας U₁ που είχε πριν μπει στο νερό.

2) Πόση η επιτάχυνση της κίνησής του στο νερό, αν δεχτούμε ότι δέχεται σταθερή αντίσταση και άνωση μαζί Α ίση με το μισό του βάρους του Β

3) Ποια χρονική στιγμή t₂ φτάνει το κουκουνάρι στον πυθμένα, αν το βάθος της θάλασσας είναι  Η = 70m; Δεχόμαστε ότι το κουκουνάρι πέρασε  από τον αέρα στο νερό ακαριαία.    

4) Με πόση ταχύτητα U₃ χτυπάει το κουκουνάρι στον πυθμένα;

5) Να υπολογισθεί η ταχύτητα του κουκουναριού τις χρονικές στιγμές 1s,  2s, 3s, …  κλπ μέχρις ότου χτυπήσει στον πυθμένα. Να συμπληρωθεί ο αντίστοιχος πίνακας και να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου (u – t)

Τι παρατηρείτε στην κλίση των δυο γραμμών στο διάγραμμα u –t ;

6) Να βρεθεί η θέση x  του κινητού τις χρονικές στιγμές 1s,  2s,  3s, … κλπ μέχρις ότου φθάσει στον πυθμένα. Να συμπληρωθεί ο αντίστοιχος πίνακας και να γίνει το διάγραμμα θέσης – χρόνου (x-t)

ΛΥΣΗ

1) Ποια χρονική στιγμή t₁ φτάνει το κουκουνάρι στην επιφάνεια της θάλασσας και με πόση ταχύτητα U₁; (g=10m/s2)

 Η κίνηση είναι ελεύθερη πτώση. Από την εξίσωση h = 1/2 g t² ,  προκύπτει ότι την χρονική στιγμή t₁ = 4 s φτάνει στην θάλασσα.

U_{1 =} g t_{1 =} 40 m/s

Φτάνοντας στο νερό και στην είσοδό του σ’ αυτό χάνει λόγω αντίστασης από το νερό, κάμποση κινητική ενέργεια. Έτσι στη συνέχεια προχωρεί στο νερό με ταχύτητα U₂ ίση με τα 3/4 της ταχύτητας U₁ που είχε πριν μπει στο νερό.

2) Πόση η επιτάχυνση της κίνησής του στο νερό, αν δεχτούμε ότι δέχεται σταθερή αντίσταση και άνωση μαζί, Α ίση με το μισό του βάρους του Β

(B-A =m a) --- (Β/2 = m a) --- (a = g/2)  = 5 m/s²

3) Ποια χρονική στιγμή t₂ φτάνει το κουκουνάρι στον πυθμένα, αν το βάθος της θάλασσας είναι  Η = 70m; Δεχόμαστε ότι το κουκουνάρι πέρασε  από τον αέρα στο νερό ακαριαία.    

Η κίνηση στο νερό είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με επιτάχυνση a=5m/s², αρχική ταχύτητα  U₂ = 3/4 U₁  = 30 m/s ,  ενώ θέλουμε να βρούμε σε πόσο χρόνο t =τ  θα διανύσει απόσταση (μετατόπιση) Η =70m.

Από την εξίσωση Η = U₂ t + ½ a t²    προκύπτει, λύνοντας την δευτεροβάθμια εξίσωση, ως προς t

  ( 70 = 30 t +2,5 t² ) ή (5t² + 60t –140 =0) ότι σε χρόνο t = 2 s  από τότε που μπήκε στο νερό, θα χτυπήσει στον πυθμένα, δηλαδή την χρονική στιγμή  t₂ = 6 s από τότε που ξεκίνησε από την κορυφή του βράχου. 

4) Με πόση ταχύτητα U₃ χτυπάει το κουκουνάρι στον πυθμένα;

    U₃ = U₂ + a t = 30 + 5x2 = 40 m/s

5) Να υπολογισθεί η ταχύτητα του κουκουναριού τις χρονικές στιγμές 1s,  2s, 3s,   κλπ, μέχρις ότου χτυπήσει στον πυθμένα. Να συμπληρωθεί ο αντίστοιχος πίνακας και να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου (u – t)

6) Να βρεθεί η θέση x  του κινητού τις χρονικές στιγμές 1s,  2s,  3s, … κλπ, μέχρις ότου φθάσει στον πυθμένα. Να συμπληρωθεί ο αντίστοιχος πίνακας και να γίνει το διάγραμμα θέσης – χρόνου (x-t)

Η  άσκηση σε pdf  ΕΔΩ  σε φύλλα εργασίας ΕΔΩ

Διατήρηση της ορμής στην κρούση δύο σωμάτων. Πείραμα στο χαρτί.

Στη χρονοφωτογραφία φαίνονται τα διαδοχικά στιγμιότυπα της κίνησης - κρούσης μιας σφαίρας Α, με αρχικά ακίνητη σφαίρα Β, ίσης μάζας 0,1 Kg.

Τα στιγμιότυπα είναι κάθε 1/50 s το ένα από το άλλο, η κλίμακα σε cm.

Αντλώντας πληροφορίες από τη χρονοφωτογραφία, (και από τα δεδομένα)

να βρεθούν:

1) Το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Α πριν την κρούση.

2) Το μέτρο της ορμής της σφαίρας Α πριν την κρούση.

3) Η ταχύτητα και η ορμή της σφαίρας Β πριν την κρούση.

4) Η ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών πριν την κρούση.

5) Η ταχύτητα και η ορμή της σφαίρας Α μετά την κρούση.

6 Η ταχύτητα και η ορμή της σφαίρας Β μετά την κρούση.

7) Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Α στην κρούση.

8) Η μεταβολή της ορμής της σφαίρας Β στην κρούση.

9) Τι συμπέρασμα προκύπτει από τα (7) και (8);

10) Σχεδίασε τα διανύσματα της ορμής και της μεταβολής της ορμής για κάθε σφαίρα.

11) Αν η διάρκεια της κρούσης ήταν 0, 001s υπολόγισε τη μέση δύναμη που δέχτηκε κάθε σφαίρα στην κρούση.

12) Υπολόγισε την ορμή του συστήματος των δύο σφαιρών μετά την κρούση. Τι συμπεραίνεις;

Απάντηση σε δίστηλο φύλλο εργασίας ΕΔΩ.

Όταν η επιτάχυνση α δεν είναι ανάλογη της δύναμης F, λόγω της τριβής.

Ένα κομμάτι ξύλου με μάζα 2 Kg βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο.

Εξασκώντας στο ξύλινο αντικείμενο οριζόντια δύναμη F, διαπιστώνουμε ότι όταν F=8N τότε μόλις αρχίζει να κινείται με ασήμαντη σταθερή ταχύτητα.

1) Με πόση επιτάχυνση θα κινηθεί, όταν F=20N και όταν F = 32N;

2) Να παρασταθεί γραφικά η επιτάχυνση (α) σε συνάρτηση της δύναμης F.

Εκφώνηση και λύση <ΕΔΩ πατώντας>

Ποδηλάτης που πάει, πίνει αναψυκτικό και επιστρέφει.

Ένας ποδηλάτης κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος μιας ευθείας διαδρομής, σταματάει να πιεί ένα αναψυκτικό, και επιστρέφει στην αφετηρία, τρέχοντας με άλλη σταθερή ταχύτητα.
1) Από το διάγραμμα θέσης- χρόνου να υπολογισθεί η ταχύτητα σε κάθε τμήμα της όλης πορείας.
2) Να γίνει το διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου. Τι εκφράζει το εμβαδό του κάθε επιμέρους τμήματος στο διάγραμμα u-t;
(υποθέτουμε ότι το σταμάτημα και η αλλαγή φοράς κίνησης γίνονται ακαριαία)

Εκφώνηση και λύση εδώ πατώντας

Διάγραμμα x-t στον μύθο του λαγού και της χελώνας.

Μια χελώνα και ένας λαγός διεξάγουν αγώνα δρόμου 300m.
Η χελώνα τρέχει με σταθερή ταχύτητα 2m/min σε όλο το δρόμο. Ο λαγός τρέχει με ταχύτητα 1m/s για 60s, μετά κοιμάται για 3h και όταν ξυπνάει συνεχίζει με ταχύτητα 1m/s.
1)Πότε έφθασε στο τέρμα η χελώνα και πότε ο λαγός;
2) Πόση η μέση ταχύτητα του λαγού και πόση της χελώνας;
3) Να γίνουν τα διαγράμματα θέσης – χρόνου σε κοινούς άξονες για τα δύο «διαγωνιζόμενα» ζωντανά.

ΛΥΣΗ
1) Η χελώνα φθάνει στο τέρμα μετά χρόνο tx=S/ux = 300m/2m/min = 150min.
Ο λαγός στα πρώτα 60 διανύει απόσταση S1=Uλ t1 = 1m/s 60s = 60m
του έμεινε διάστημα S2=S-S1=240m, που το διανύει σε χρόνο
t2= S2/Uλ = 240m/1m/s = 240 s = 4 min
Φθάνει στο τέρμα μετά χρόνο t =t1 + t ύπνου + t2 = 185 min.

2) Η μέση ταχύτητα της χελώνας, που συμπίπτει με την στιγμιαία ταχύτητά της είναι u χελ = S/tχελ = 300/150 = 2 m/min

Η μέση ταχύτητα του λαγού είναι u λαγού = S/tλαγ = 300/185 = 1,62 m/min

Η μέση ταχύτητα της χελώνας είναι μεγαλύτερη από τη μέση ταχύτητα του λαγού.

Σημείωση: Το διάγραμμα του λαγού παρουσιάζει στις χρονικές στιγμές
t =1 min και t =181 min, δύο γωνίες.
Στις δυο αυτές χρονικές στιγμές η στιγμιαία ταχύτητα του λαγού δεν ορίζεται λόγω ασυνέχειας.
Εν τούτοις λίγο πριν το 1 min η ταχύτητα είναι 1m/s, ενώ λίγο μετά το 1 min
η ταχύτητα του είναι μηδέν.

Εκφώνηση - λύση και από ΕΔΩ.