Η κίνηση δύο σωμάτων σε επαφή

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεμούν δύο κιβώτια Α και Γ, με μάζες Μ=40kg και m=10kg αντίστοιχα, σε επαφή. Ένα παιδί τη στιγμή t₀=0 σπρώχνει το Α κιβώτιο, ασκώντας του μια σταθερή οριζόντια δύναμη F=20Ν, όπως στο σχήμα, συμπαρασύροντας και το Β κιβώτιο.

i) Να υπολογιστεί η κοινή επιτάχυνση την οποία θα αποκτήσουν τα δύο κιβώτια, καθώς και το μέτρο της δύναμης την οποία ασκεί το ένα στο άλλο.

ii) Να βρεθεί η ταχύτητα των κιβωτίων τη χρονική στιγμή t₁= 5s.

iii) Αν τη στιγμή t₁ το παιδί, θέλοντας να σταματήσει το κιβώτιο Α, αρχίζει να το τραβά ασκώντας του σταθερή οριζόντια δύναμη, με κατεύθυνση προς τα αριστερά, μέτρου F₁=20Ν, να υπολογιστούν:

α) Ποια χρονική στιγμή t₂ θα μπορέσει το παιδί  να ακινητοποιήσει, το Α κιβώτιο;

β) Ποια η απόσταση των δύο κιβωτίων τη στιγμή t₂;

Απάντηση:

ή

  Η κίνηση δύο σωμάτων σε επαφή

 Η κίνηση δύο σωμάτων σε επαφή

Δυο σώματα επιταχύνονται

 

Δυο σώματα Α και Β με μάζες m₁=2kg και m₂=3kg αντίστοιχα, ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένα στα άκρα ενός ιδανικού ελατηρίου, με φυσικό μήκος ℓ₀=60cm. Σε μια στιγμή ασκούμε στο Α, μια οριζόντια δύναμη F=4Ν, όπως στο σχήμα, με αποτέλεσμα το ελατήριο να επιμηκύνεται και κάποια στιγμή t₁ το σώμα Α έχει επιτάχυνση α₁=0,5m/s².

i)  Να υπολογιστεί η δύναμη που το ελατήριο ασκεί στο σώμα Α την παραπάνω στιγμή t₁.

ii) Ποια η αντίστοιχη επιτάχυνση του Β σώματος, τη στιγμή αυτή;

iii) Αν τη στιγμή t₁ το ελατήριο έχει μήκος ℓ=75cm, να υπολογιστεί η σταθερά του ελατηρίου k.

iv) Την παραπάνω στιγμή το Α σώμα, έχοντας ταχύτητα υ₁=0,6m/s λύνεται από το ελατήριο, να υπολογιστεί η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t₂=t₁+1,2s.

Απάντηση:

ή

 Δυο σώματα επιταχύνονται

 Δυο σώματα επιταχύνονται

Και ξανά το νήμα τραβά…

 Ο μικρός Αριστοτέλης, τραβάει ένα μικρό κουτί μάζας Μ=400g, μέσω νήματος, πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.

Εφαρμογή 1^η :

Αν ο Αριστοτέλης ασκήσει στο άκρο του νήματος οριζόντια δύναμη μέτρου F=1Ν, όπως στο (1) σχήμα, να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κουτιού:

i) Αν η μάζα του νήματος θεωρείται αμελητέα.

ii) Αν το νήμα έχει μάζα m=100g.

 

Εφαρμογή 2^η:

Αν ο Αριστοτέλης ασκήσει στο κουτί μέσω του νήματος, οριζόντια δύναμη μέτρου F=1Ν, όπως στο (2) σχήμα, να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κουτιού:

i) Αν η μάζα του νήματος θεωρείται αμελητέα.

ii) Αν το νήμα έχει μάζα m=100g.

Απαντήσεις:

ή

Και ξανά το νήμα τραβά…

Δυο σώματα αποκτούν την ίδια επιτάχυνση

 

Δύο σώματα με μάζες m₁ και m₂ , δεμένα στο άκρο νήματος αμελητέας μάζας και σταθερού μήκους, σύρονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης F, όπως στο πάνω σχήμα.

i)  Τα σώματα κινούνται με την ίδια επιτάχυνση, μέτρου:

 

ii) Η τάση του νήματος, η οποία ασκείται στο σώμα μάζας m₂, έχει κατεύθυνση προς τα δεξιά και μέτρο:

 

iii) Αν την θέση του νήματος πάρει ένα ιδανικό ελατήριο και τα σώματα κινούνται ξανά προς τα δεξιά, με την ίδια επιτάχυνση (και σταθερό μήκος ελατηρίου), όπως στο κάτω σχήμα, τότε:

α) Να εξηγήσετε γιατί το ελατήριο έχει επιμηκυνθεί.

β) Αν η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι ίση με Δℓ, τότε το ελατήριο αυτό έχει σταθερά:

 

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

  Δυο σώματα αποκτούν την ίδια επιτάχυνση

 Δυο σώματα αποκτούν την ίδια επιτάχυνση

Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.

  

Από ένα σημείο Α σε ύψος h=60m από το έδαφος, αφήνεται τη χρονική στιγμή t₀=0, να πέσει ένα σώμα Σ₁, χωρίς αρχική ταχύτητα, ενώ ταυτόχρονα από το σημείο Ο του εδάφους, το οποίο βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το Α, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω, ένα δεύτερο σώμα Σ₂, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀₂=20m/s.

Αφού θεωρήσετε το σημείο Ο ως αρχή ενός άξονα y΄y με θετική κατεύθυνση προς τα πάνω:

i)  Να γράψετε τις εξισώσεις ταχύτητας- χρόνου  (υ=υ(t))  και θέσης- χρόνου (y=y(t)) για τα δυο σώματα.

ii) Να υπολογίσετε τις ταχύτητες και τις θέσεις των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t₁=1s.

iii) Ποια  χρονική στιγμή t₂ τα δυο σώματα  συγκρούονται; Να βρείτε την θέση σύγκρουσης, καθώς και τις ταχύτητες των σωμάτων ελάχιστα πριν την κρούση.

Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα, ενώ g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.

 Δύο σώματα κινούνται κατακόρυφα.

Ποιος μαθητής έχει δίκιο για την καμπύλη που χάραξε;

 Λίγα … Μαθηματικά:

Έστω μια συνάρτηση 2^ου βαθμού της μορφής y=αx²+βx+γ. Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή, η μορφή της οποίας θα καθοριστεί από το πρόσημο του συντελεστή του δευτεροβάθμιου όρου, δηλαδή από το πρόσημο του α.

·        Αν το α>0, τότε η παραβολή έχει στρέψει τα «κοίλα άνω», όπως στο πρώτο από τα παρακάτω σχήματα:

 

·        Αν α< 0, η παραβολή έχει τα «κοίλα κάτω», όπως στο δεξιό από τα παραπάνω σχήματα.

Από κει και πέρα η ακριβής μορφή της καμπύλης (αν τέμνει τους άξονες και σε ποια σημεία, το άνοιγμά της…) καθορίζονται από τους άλλους συντελεστές (β και γ).

Ας δούμε πώς τα παραπάνω βρίσκουν εφαρμογή σε μια κατακόρυφη βολή.

 

Εφαρμογή:

Από ορισμένο ύψος h από το έδαφος, εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω ένα μικρό σώμα. Ζητήσαμε από τρεις μαθητές, να χαράξουν την γραφική παράσταση της θέσης του σώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο (y-t), μέχρι κάποια στιγμή t₁. Οι μαθητές, χάραξαν τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις (προσεγγίζουν παραβολές):

 

Ποιος ή ποιοι μαθητές χάραξαν σωστά την καμπύλη;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Απάντηση:

ή

 Ποιος μαθητής έχει δίκιο για την καμπύλη που χάραξε;

 Ποιος μαθητής έχει δίκιο για την καμπύλη που χάραξε;

Μια κατακόρυφη βολή, πάνω-κάτω!

 

Από ένα σημείο Ο σε ύψος Η, εκτοξεύεται σε μια στιγμή t₀=0, κατακόρυφα προς τα πάνω μια μπάλα, με αρχική ταχύτητα μέτρου υ₀=10m/s.

i)   Να πάρετε στο σχήμα μια θέση Α που η μπάλα ανεβαίνει, τη θέση Β στο μέγιστο ύψος και μια θέση Γ, όπου η μπάλα κατεβαίνει και να σχεδιάσετε την επιτάχυνση της μπάλας και στις τρεις παραπάνω θέσεις.

ii)  Θέλοντας να μελετήσουμε την κίνηση της μπάλας παίρνουμε έναν κατακόρυφο άξονα με αρχή το σημείο Ο και θετική φορά προς τα πάνω. Με βάση τον άξονα αυτό να δώσετε τις εξισώσεις σε συνάρτηση με το χρόνο της ταχύτητας και της θέσης της μπάλας (υ-t και y-t).

iii) Ποια χρονική στιγμή t₁ η μπάλα βρίσκεται στο μέγιστο ύψος, στη θέση Β, και πόσο απέχει τότε από το σημείο εκτόξευσης Ο;

iv) Ποια χρονική στιγμή t₂ η μπάλα επιστρέφει στο σημείο Ο και ποια η ταχύτητα επιστροφής;

v) Αν η μπάλα φτάνει στο έδαφος τη χρονική στιγμή t₃=2,5s, να βρεθεί το ύψος Η του σημείου εκτόξευσης Ο, από το έδαφος;

Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Μια κατακόρυφη βολή, πάνω-κάτω!

  Μια κατακόρυφη βολή, πάνω-κάτω!

Ίδια δύναμη, ίδια τελική ταχύτητα

 

Δύο σώματα Α και Β ηρεμούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο, το ένα δίπλα στο άλλο, όπως στο σχήμα (σε κάτοψη). Στα σώματα ασκείται η ίδια δύναμη F (όχι ταυτόχρονα), με αποτέλεσμα να κινηθούν οριζόντια στην ίδια διεύθυνση και η ταχύτητά τους να μεταβάλλεται σύμφωνα με το διάγραμμα.

i) Επί πόσο χρονικό διάστημα ασκήθηκε η δύναμη σε κάθε σώμα;

Αν το σώμα Α έχει μάζα m₁=4,5kg:

ii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος Α τη στιγμή t₁=1,5s.

iii) Ποια η θέση του σώματος Α τη χρονική στιγμή t₂=6s.

iv) Να βρεθεί η μάζα m₂ του Β σώματος.

v) Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο σωμάτων τη στιγμή t₂, καθώς και τη στιγμή t₃=7,5s.

Απάντηση:

ή

  Ίδια δύναμη, ίδια τελική ταχύτητα

  Ίδια δύναμη, ίδια τελική ταχύτητα

Δυο ερωτήσεις Δυναμικής

 1) Η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα είναι μηδενική. Ποια από τα παρακάτω διαγράμματα μπορεί να είναι σωστά και να περιγράφουν την κατάσταση;

 

2)  Ένα σώμα βάρους 2Ν ηρεμεί όπως στα σχήματα (1) και (3) από τα παρακάτω σχήματα ή κινείται με σταθερή ταχύτητα, όπως φαίνεται στα υπόλοιπα σχήματα.

 

i) Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, σε κάθε περίπτωση.

ii) Να συγκριθούν οι δυνάμεις που ασκούν το οριζόντιο και το κεκλιμένο επίπεδο στο σώμα, στις παραπάνω περιπτώσεις.

Απάντηση:

ή

 Δυο ερωτήσεις Δυναμικής

   Δυο ερωτήσεις Δυναμικής

Μια ισορροπία σώματος και ένα ελατήριο

 

Ένα σώμα Σ μάζας m=2kg, ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο ιδανικού ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου δένεται στο ταβάνι, ενώ ταυτόχρονα στηρίζεται σε τραπέζι, όπως στο σχήμα. Στην περίπτωση αυτή το ελατήριο, με σταθερά k=100Ν/m, έχει επιμήκυνση Δℓ=15cm.

i)  Ποια δύναμη παραμορφώνει το ελατήριο και ποιο το μέτρο της.

ii)  Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα Σ.

iii) Να υπολογιστεί το μέτρο της δύναμης που το ελατήριο ασκεί στο σώμα Σ.

iv) Να βρεθεί η δύναμη που το σώμα Σ ασκεί στο τραπέζι.

v)  Αν κάποια στιγμή αφαιρέσουμε ακαριαία το τραπέζι που στηρίζει το σώμα Σ, ποια θα είναι η επιτάχυνση (στιγμιαία) που θα αποκτήσει το σώμα Σ;

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

  Μια ισορροπία σώματος και ένα ελατήριο

  Μια ισορροπία σώματος και ένα ελατήριο