Δυναμική από ένα διάγραμμα θέσης

 

Μια μικρή σφαίρα κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα x και στο σχήμα δίνεται η θέση της σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο. Στη σφαίρα μπορεί να ασκείται μια μόνο οριζόντια δύναμη στη διεύθυνση x.

i)  Μπορείτε να περιγράψετε την κίνηση της σφαίρας με βάση το διάγραμμα αυτό;

ii) Στον παρακάτω πίνακα εμφανίζονται τα διάφορα χρονικά διαστήματα και στην διπλανή στήλη έχει σχεδιαστεί η πιθανή ταχύτητα της σφαίρας. Να κάνετε τις αντιστοιχίσεις και στη συνέχεια να δοθεί και σύντομη ερμηνεία.

 

iii) Ποιες οι αντίστοιχες αντιστοιχίσεις μεταξύ χρονικών διαστημάτων και του σχήματος που δείχνει την ασκούμενη οριζόντια δύναμη που μπορεί να ασκείται στη σφαίρα;

 

Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.

Απάντηση:

ή

 Δυναμική από ένα διάγραμμα θέσης

 Δυναμική από ένα διάγραμμα θέσης

Όταν το σώμα επιστρέφει…

 

Σε λείο οριζόντιο επίπεδο κινείται ένα σώμα, μάζας m=4kg, σε ευθεία τροχιά, η οποία ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x΄x, με την επίδραση δύο οριζόντιων δυνάμεων F₁  και F₂  όπως στο σχήμα,  με μέτρα 4Ν και 6Ν αντίστοιχα.

i)  Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος.

ii) Αν κάποια στιγμή που θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των χρόνων (t₀=0), το σώμα περνάει από ένα σημείο Α, στη θέση x₀=50m, να βρεθεί η θέση και η ταχύτητα του σώματος την χρονική στιγμή t₁=16s, όταν:

α) Τη στιγμή t₀=0 έχει ταχύτητα μέτρου 4m/s, με φορά προς τα δεξιά.

β) Τη στιγμή t₀=0 έχει ταχύτητα μέτρου 4m/s, με φορά προς τα αριστερά.

iii) Να βρεθεί η μέγιστη απόσταση από το Α που θα βρεθεί το σώμα, στο χρονικό διάστημα 0-t₁, στις δύο παραπάνω περιπτώσεις.

Απάντηση:

ή

 Όταν  το σώμα επιστρέφει…

 Όταν  το σώμα επιστρέφει…

Διαφορετικές δυνάμεις ίδια επιτάχυνση

 

Ένα σώμα κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, με την επίδραση μιας οριζόντιας σταθερής  δύναμης F₁, αποκτώντας επιτάχυνση α. Το ίδιο σώμα με την επίδραση μιας σταθερής κατακόρυφης δύναμης F₂, επιταχύνεται προς τα πάνω με επιτάχυνση ίδιου μέτρου α.

i)  Για τα μέτρα των δυνάμεων αυτών ισχύει:

ii) Αν για τα μέτρα των παραπάνω δυνάμεων ισχύει:

Να βρεθεί η μάζα του σώματος, αν g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Διαφορετικές δυνάμεις ίδια επιτάχυνση

 Διαφορετικές δυνάμεις ίδια επιτάχυνση

Σύγκριση δυνάμεων

 

Δυο σώματα Α και Β, βρίσκονται σε λείο οριζόντιο επίπεδο, ενώ δέχονται δύο σταθερές οριζόντιες δυνάμεις το καθένα, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα. Στο διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της θέσης κάθε σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Η  δύναμη F₁ είναι ίση με την δύναμη F, αφού το Α σώμα κινείται με σταθερή ταχύτητα.

ii) Μεγαλύτερη συνισταμένη δύναμη δέχεται το σώμα με την μεγαλύτερη μάζα.

iii) Για να μπορεί το σώμα Β να κινείται με σταθερή ταχύτητα πρέπει το η δύναμη F₂ να έχει μεγαλύτερο μέτρο από την δύναμη F.

iv) Οι δυνάμεις F₁ και F₂ έχουν ίσα μέτρα.

Να χαρακτηρίσετε τις παραπάνω προτάσεις ως σωστές ή λανθασμένες δικαιολογώντας την θέση σας.

Απάντηση:

ή

 Σύγκριση  δυνάμεων

 Σύγκριση δυνάμεων

Συνισταμένη δύναμη. Μέτρο και αλγεβρική τιμή

 

Σε ένα σώμα που βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο, ασκούνται δύο οριζόντιες δυνάμεις, όπως στο σχήμα, όπου η δύναμη  F₁ έχει μέτρο 6Ν, ενώ η δύναμη  F₂ μέτρο 10Ν.

i)     Για τη συνισταμένη των δύο παραπάνω δυνάμεων ισχύει:

 

ii) Εφαρμόζοντας την σωστή από τις παραπάνω σχέσεις και την «τεχνική» σύνθεσης διανυσμάτων, να βρεθεί η συνισταμένη των δυνάμεων αυτών.

iii) Μπορούμε να δουλέψουμε με τις αλγεβρικές τιμές των δυνάμεων, για να βρούμε τη συνισταμένη τους, θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.  Τότε για την τιμή της συνισταμένης ισχύει:

α) ΣF=F₁ + F₂,    β)  ΣF=F₁ - F₂,   γ) ΣF= F₂ - F₁.

iv) Χρησιμοποιώντας την σωστή μαθηματική σχέση, να βρείτε τη συνισταμένη των δυνάμεων, με τη χρήση των αλγεβρικών τιμών των δυνάμεων.

Απάντηση:

ή

 Συνισταμένη δύναμη. Μέτρο και αλγεβρική τιμή

 Συνισταμένη δύναμη. Μέτρο και αλγεβρική τιμή

Μελέτη των κινήσεων δύο αυτοκινήτων.

Ένα παιδί Π, στέκεται ακίνητο στην άκρη ενός ευθύγραμμου  δρόμου, στον οποίο βλέπουμε δύο αυτοκίνητα Α και Β, τη στιγμή t₀=0, τα οποία απέχουν κατά 224m.

 

Το Α αυτοκίνητο ξεκινά τη στιγμή αυτή να επιταχύνεται προς τα δεξιά (όπως το βλέπουμε εμείς…), με σταθερή επιτάχυνση μέτρου 2m/s², απέχοντας 100m από το παιδί. Το αυτοκίνητο Β κινείται προς τα αριστερά με ταχύτητα σταθερού μέτρου υ₂=20m/s.

Το παιδί, παίρνει έναν άξονα x, με αρχή τη θέση Ο που βρίσκεται και με θετική φορά προς τα  δεξιά, όπως  φαίνεται στο σχήμα, για να μπορέσει να μελετήσει τις κινήσεις των δύο αυτοκινήτων.

i) Ποιες οι θέσεις, οι ταχύτητες και οι επιταχύνσεις των δύο αυτοκινήτων τη στιγμή t₀;

ii) Να βρεθεί η ταχύτητα και η μετατόπιση του Α αυτοκινήτου τη στιγμή t₁=5s.

iii) Ποιες είναι οι θέσεις των δύο αυτοκινήτων τη στιγμή t₁;

iv) Ποια χρονική στιγμή το Α αυτοκίνητο φτάνει στη θέση που βρίσκεται το παιδί και ποια είναι τη στιγμή αυτή η ταχύτητά του; Πού βρίσκεται το Β αυτοκίνητο τη στιγμή αυτή;

v) Να βρεθεί η θέση στην οποία τα δυο αυτοκίνητα διασταυρώνονται και η χρονική στιγμή που συμβαίνει αυτό.

Απάντηση:

ή

Μελέτη των κινήσεων δύο αυτοκινήτων.

Μελέτη των κινήσεων δύο αυτοκινήτων.

Τέσσερα διαγράμματα θέσης

Για ένα σώμα, που αρχικά ηρεμεί  σε ορισμένο σημείο ενός ευθύγραμμου δρόμου, δίνονται τα παρακάτω διαγράμματα θέσης,  σε συνάρτηση με το χρόνο.

 

Ποιο ή ποια διαγράμματα μπορούν να περιγράψουν δυνατές κινήσεις και ποια είναι λανθασμένα;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Απάντηση:

ή

 Τέσσερα διαγράμματα θέσης

 Τέσσερα διαγράμματα θέσης

Επιλέγουμε διαγράμματα

Ένα αυτοκίνητο είναι ακίνητο σε ένα σημείο ενός ευθύγραμμου δρόμου. Σε μια στιγμή t₁ ξεκινά με σταθερή επιτάχυνση μέχρι να αποκτήσει ορισμένη ταχύτητα και στη συνέχεια συνεχίζει την κίνησή του με σταθερή ταχύτητα.

i) Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα μπορεί να παριστάνει την μεταβολή της ταχύτητας του αυτοκινήτου, σε συνάρτηση με το χρόνο;

 

ii) Ποιο μπορεί να είναι το αντίστοιχο διάγραμμα που παριστάνει τη θέση του αυτοκινήτου σε συνάρτηση με το χρόνο;

Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας.

Απάντηση:

ή

 Επιλέγουμε διαγράμματα

 Επιλέγουμε διαγράμματα

Δύο κινητά και ένα διάγραμμα θέσης.

Κατά μήκος ευθύγραμμου δρόμου, ο οποίος ταυτίζεται με έναν προσανατολισμένο άξονα x, κινούνται δύο αυτοκίνητα και στο διάγραμμα δίνονται οι θέσεις τους σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Μπορείτε να περιγράψετε ποιοτικά τις κινήσεις των δύο αυτοκινήτων;

ii) Να υπολογιστεί η ταχύτητα του Α αυτοκινήτου και η απόσταση των δύο οχημάτων τη χρονική στιγμή t₀=0.

iii) Αν το Β αυτοκίνητο ξεκινά από την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση, να υπολογιστεί η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή που διασταυρώνεται με το Α αυτοκίνητο.

iv) Ποια η απόσταση των δύο αυτοκινήτων, τη στιγμή που το Α, φτάνει στην αρχική θέση του Β;

Απόσταση:

ή

  Δύο κινητά και ένα διάγραμμα θέσης.

  Δύο κινητά και ένα διάγραμμα θέσης.

Δυο κινήσεις μεταξύ δύο φαναριών

Ένα αυτοκίνητο Α είναι σταματημένο μπροστά από το κόκκινο φανάρι, ενός ευθύγραμμου δρόμου. Μόλις ανάψει πράσινο, το αυτοκίνητο αποκτά σταθερή επιτάχυνση α₁=4m/s², μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα υ₁=72km/h, οπότε κινείται πλέον με σταθερή ταχύτητα με αποτέλεσμα να φτάσει στο επόμενο φανάρι, μετά από μισό λεπτό. Θεωρώντας την αρχική θέση του αυτοκινήτου ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x και τη στιγμή που το φανάρι γίνεται πράσινο, ως τη στιγμή t=0, ζητούνται:

i)  Ποια χρονική στιγμή σταματά η επιτάχυνση του αυτοκινήτου και σε ποια θέση βρίσκεται τότε το αυτοκίνητο.

ii) Η απόσταση των δύο φαναριών.

Ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β, ξεκινά ταυτόχρονα με το Α και φτάνει στο 2^ο φανάρι μαζί με το Α, αφού επιταχύνθηκε αρχικά με σταθερή επιτάχυνση α₂ για χρονικό διάστημα 10s.

iii) Με ποια επιτάχυνση κινήθηκε το Β αυτοκίνητο και με ποια ταχύτητα έφτασε στο δεύτερο φανάρι;

iv) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο και για τα δύο αυτοκίνητα, στο ίδιο διάγραμμα.

Απάντηση:

ή

 Δυο κινήσεις μεταξύ δύο φαναριών
 Δυο κινήσεις μεταξύ δύο φαναριών