Οι κινήσεις δύο κινητών και τα διαγράμματα x-t.

 

Κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα x κινούνται δυο κινητά Α και Β, όπου οι γραφικές παραστάσεις την θέσης τους σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνονται στο διπλανό σχήμα. Τη στιγμή t=0 το ένα κινητό έχει διπλάσια ταχύτητα από το άλλο.

i)  Ποιο κινητό έχει μεγαλύτερη ταχύτητα τη στιγμή t=0 και γιατί;

ii) Αν για το κινητό Α η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία, να δικαιολογήσετε γιατί η ταχύτητά του παραμένει σταθερή. Στη συνέχεια να υπολογιστούν οι ταχύτητες των δύο κινητών τη στιγμή t=0.

iii) Αν η επιτάχυνση του Β κινητού παραμένει σταθερή, να υπολογιστεί η αλγεβρική της τιμή. Ποια η ταχύτητα του κινητού Β τη στιγμή t₁=10s;

iv) Να βρεθούν οι χρονικές στιγμές, όπου τα δύο κινητά έχουν ταχύτητες:

    α) ίσες,   

    β) αντίθετες.

Απάντηση:

ή

 Οι κινήσεις δύο κινητών και τα διαγράμματα x-t.

 Οι κινήσεις δύο κινητών και τα διαγράμματα x-t.

Μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

 

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα x και την στιγμή t=0 περνά από την αρχή του άξονα, κινούμενο προς την θετική κατεύθυνση με ταχύτητα μέτρου 4m/s έχοντας και επιτάχυνση αντίθετης κατεύθυνσης μέτρου 0,5m/s², η οποία παραμένει στη συνέχεια σταθερή.

i) Να υπολογιστεί η ταχύτητα και η θέση του  σώματος τις χρονικές στιγμές:

α) t₁=4s  και   β) t₂= 12s.

ii) Αφού συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα, για τις ταχύτητες και τις θέσεις του σώματος, κάποιες χρονικές στιγμές, στη συνέχεια με την βοήθεια του πίνακα, να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις της ταχύτητα και της θέσης του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

Παρατηρείστε ότι υπάρχει ένα κενό κελί στην στήλη των χρονικών στιγμών. Μπορείτε να το συμπληρώστε με μια χαρακτηριστική χρονική  στιγμή, απαραίτητη για την σωστή χάραξη των γραφικών παραστάσεων;

iii) Μπορείτε να περιγράψετε την κίνηση του σώματος από 0-18s, με όρους «επιταχυνόμενης» ή «επιβραδυνόμενης» κίνησης;

Απάντηση:

ή

 Μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

 Μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση

Η απόσταση και η μέγιστη απόσταση δύο αυτοκινήτων

 

 Ένα αυτοκίνητο Α βρίσκεται ακίνητο μπροστά από ένα φανάρι που έχει ανάψει «κόκκινο», σε ένα ευθύγραμμο δρόμο. Τη στιγμή t=0 που το φανάρι γίνεται «πράσινο», ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β περνά ακριβώς δίπλα του, κινούμενο με σταθερή ταχύτητα υ₂=20m/s, ενώ το Α αρχίζει να κινείται με σταθερή επιτάχυνση α=2m/s².

i)  Να υπολογιστεί η απόσταση d₁ μεταξύ των δύο αυτοκινήτων τη χρονική στιγμή t₁=6s;

ii) Μπορείτε να προβλέψετε αν η απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων θα έχει αυξηθεί (d₂>d₁) τη χρονική  στιγμή t₂=7s, χωρίς να προβείτε στον υπολογισμό της νέας απόστασης;

 iii) Ποια είναι η μέγιστη απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων, μέχρι τη στιγμή που θα βρεθούν το ένα δίπλα στο άλλο.

iv) Ποια χρονική στιγμή το Α αυτοκίνητο θα προφτάσει το Β και σε πόση απόσταση από το φανάρι;  Ποια η ταχύτητα του Α αυτοκινήτου τη στιγμή αυτή;

v) Να γίνει η γραφική παράσταση της απόστασης μεταξύ των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση με το χρόνο μέχρι την στιγμή που το Α φτάνει το Β.

Απάντηση

ή

 Η απόσταση και η μέγιστη απόσταση δύο αυτοκινήτων

 Η απόσταση και η μέγιστη απόσταση δύο αυτοκινήτων

Δύο κινήσεις με σταθερές επιταχύνσεις

 

Κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα x΄x κινούνται δύο σώματα Α και Β και στο διάγραμμα βλέπετε τις ταχύτητές τους σε συνάρτηση με το χρόνο. Τα σώματα την στιγμή t₀=0, τα σώματα διέρχονται από την αρχή του άξονα (x=0).

i)  Ένας συμμαθητής σας υποστηρίζει ότι την στιγμή t₁=10s τα δυο σώματα φτάνουν στην ίδια θέση. Συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

ii) Να υπολογίστε τις επιταχύνσεις των δύο σωμάτων.

iii) Πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δυο σώματα την χρονική στιγμή t₂=12s;

iv) Να βρεθεί η χρονική στιγμή t₃ που τα σώματα θα βρεθούν στην ίδια θέση για δεύτερη φορά. Στη συνέχεια να βρείτε την θέση αυτή, καθώς και τις ταχύτητες των σωμάτων στη θέση αυτή.

Απάντηση:

ή

 Δύο κινήσεις με σταθερές επιταχύνσεις

 Δύο κινήσεις με σταθερές επιταχύνσεις

Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται

 Σε ευθύγραμμο δρόμο, κινούνται αντίθετα δύο αυτοκίνητα, όπως στο σχήμα, με ταχύτητες  σταθερών μέτρων |υ₁|=10m/s και |υ₂|=15m/s. Τα αυτοκίνητα την στιγμή t₀=0, περνούν από τα σημεία Α και Β, τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση D=450m.

Παίρνουμε το σημείο Α ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x΄x, με θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, για να μελετήσουμε την κίνηση των  δύο κινητών.

i)   Να γράψετε την εξίσωση κίνησης κάθε αυτοκινήτου, σε συνάρτηση με το χρόνο (x=x(t)).

ii) Να υπολογίσετε την μετατόπιση και την θέση κάθε αυτοκινήτου την χρονική στιγμή t₁=10s. Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο αυτοκινήτων, την παραπάνω στιγμή;

iii) Ποια χρονική στιγμή t₂ και σε ποια θέση τα δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται;

iv) Να παραστήσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων, τη συνάρτηση x=x(t) για κάθε αυτοκίνητο, μέχρι τη στιγμή t₃ που το δεύτερο αυτοκίνητο φτάνει στην θέση Α. Στο διάγραμμα να φαίνονται χαρακτηριστικές τιμές για τις χρονικές  στιγμές και τις θέσεις.

Απάντηση:

ή

 Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται

 Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται

Δύο μαθητές περπατούν

Δυο μαθητές περπατούν σε έναν ευθύγραμμο δρόμο και λαμβάνοντας έναν προσανατολισμένο άξονα x΄x, σχεδιάζουμε στο διπλανό σχήμα τις θέσεις τους σε συνάρτηση με το χρόνο, x=f(t). Αντλώντας πληροφορίες από το διάγραμμα, να εξετάσετε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες, δίνοντας και σύντομες δικαιολογήσεις.

i)  Ο μαθητής από 0-t₁ κινείται προς την θετική κατεύθυνση με σταθερή ταχύτητα.

ii) Στο χρονικό διάστημα 0-t₁ ο Α μαθητής, κινείται πιο γρήγορα από τον μαθητή Β.

iii) Τη χρονική στιγμή t₂ όπου ο μαθητής Β φτάνει στην αρχή του άξονα με x=0:

α) Η ταχύτητα του μαθητή Β είναι μηδενική.

β) Πιο γρήγορα περπατά ο Β μαθητής.

Απάντηση:

ή

 Δύο μαθητές περπατούν 

 Δύο μαθητές περπατούν 

Οι θέσεις και οι μετατοπίσεις δύο κινητών

 Σε ευθύγραμμο δρόμο, κινούνται αντίθετα δύο αυτοκίνητα, τα οποία κάποια στιγμή t₀=0, διασταυρώνονται στο σημείο Ο. Οι ταχύτητες των αυτοκινήτων Α και Β, έχουν μέτρα |υ₁|=20m/s και |υ₂|=25m/s αντίστοιχα.

 

Α) Παίρνοντας το σημείο Ο ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x΄x, με θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, να απαντήσετε στα εξής ερωτήματα:

i)  Ποια η θέση κάθε αυτοκινήτου την στιγμή t_ο;

ii) Ποια η μετατόπιση κάθε αυτοκινήτου την στιγμή t₁=8s;

iii) Ποιες οι θέσεις των αυτοκινήτων την στιγμή t₁ και πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δύο οχήματα;

Β) Αν η αρχή του άξονα x΄x είναι ένα σημείο Κ, αριστερά του Ο, σε απόσταση (ΟΚ)=100m, με τον ίδιο προσανατολισμό (προς τα δεξιά η θετική κατεύθυνση), ποιες οι αντίστοιχες απαντήσεις, στα προηγούμενα ερωτήματα;

Απάντηση:

ή

 Οι θέσεις και οι μετατοπίσεις δύο κινητών

 Οι θέσεις και οι μετατοπίσεις δύο κινητών

Μια οριζόντια εκτόξευση σώματος

 

Ένα σώμα μάζας m=0,5kg εκτοξεύεται, κάποια στιγμή t=0, σε οριζόντιο επίπεδο με αρχική ταχύτητα υ_ο=6m/s και στο  διάγραμμα δίνεται η ταχύτητά του σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογιστεί το έργο της τριβής, η οποία ασκείται στο σώμα, μέχρι να σταματήσει.

ii) Αν το σώμα σταματά την κίνησή του τη χρονική στιγμή t₁=2s, να βρεθούν:

α) Η επιτάχυνση του σώματος.

β) Το μέτρο της ασκούμενης τριβής, στη διάρκεια της κίνησης και ο συντελεστής  τριβής ολίσθησης, μεταξύ του σώματος και του επιπέδου.

iii) Αφού υπολογιστεί το έργο της τριβής, μέχρι το σώμα να περάσει από ένα σημείο Β, έχοντας μετατοπισθεί  κατά x₁=4m, να βρεθεί η ταχύτητα του σώματος στην θέση Β.

Δίνεται g=10m/s².

Απάντηση:

ή

 Μια οριζόντια εκτόξευση σώματος

 Μια οριζόντια εκτόξευση σώματος

Ας ελέγξουμε για τριβές και ενέργειες

 

Ένα σώμα μάζας 2kg σύρεται σε οριζόντιο επίπεδο με την επίδραση μιας σταθερής οριζόντιας δύναμης μέτρου F=10Ν. Σε μια στιγμή t₀=0, το σώμα περνά από μια θέση Α, με ταχύτητα υ_ο=0,5m/s, ενώ τη στιγμή t₁=5s έχει αποκτήσει ταχύτητα  ίδιας κατεύθυνσης και μέτρου υ₁=1,5m/s.

i)  Να αποδειχθεί ότι το επίπεδο δεν είναι λείο και να υπολογιστεί το μέτρο της ασκούμενης στο σώμα τριβής ολίσθησης, θεωρώντας την σταθερή.

ii) Να υπολογιστεί το έργο της δύναμης F, στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

iii) Να επιβεβαιώσετε την ισχύ του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος, για την παραπάνω μετακίνηση το σώματος.

Απόδειξη:

ή

 Ας ελέγξουμε για τριβές και ενέργειες

 Ας ελέγξουμε για τριβές και ενέργειες

Η μηχανική ενέργεια σε μια κατακόρυφη βολή

 

Μια μικρή μπάλα μάζας 0,1kg, εκτοξεύεται από το έδαφος, κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ_ο=12m/s. Θεωρούμε μηδενική την αρχική δυναμική ενέργεια της μπάλας, αμελητέα την αντίσταση του αέρα, ενώ g=10m/s².

i)  Πόση είναι η μηχανική ενέργεια της μπάλας στη διάρκεια της κίνησής της;

ii) Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια της μπάλας, όταν περνά από μια θέση Α, σε ύψος h=4m.

iii) Να βρεθεί η (στιγμιαία) ισχύς του βάρους στη θέση Α.

iv) Σε ποιο ύψος h₁ η ισχύς του βάρους μηδενίζεται;

Απάντηση:

ή

 Η μηχανική ενέργεια σε μια κατακόρυφη βολή

 Η μηχανική ενέργεια σε μια κατακόρυφη βολή