Δυναμική και μια ... δίκλωνη συνάρτηση

 Μια ντουλάπα, μάζας 50kg ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο δεν εμφανίζει τριβές.

Κάποια στιγμή ένα παιδί σπρώχνει την ντουλάπα, με σκοπό την μετακίνησή της, ασκώντας της μια οριζόντια δύναμη F. Στο δεξιό διάγραμμα, βλέπουμε πώς μεταβάλλεται η ταχύτητα της ντουλάπας, σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη χρονική στιγμή t΄= 20s.

i)   Αφού υπολογίσετε το μέτρο της ασκούμενης δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή t΄=20s, να κάνετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση F-t.

ii)  Θεωρώντας την αρχική θέση της ντουλάπας, ως αρχή ενός άξονα x, κατά μήκος του οποίου έγινε η μετακίνηση, με θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, να βρεθεί η εξίσωση θέσης (x-t), μέχρι τη στιγμή t΄.

iii) Να παρασταθεί γραφικά η θέση της ντουλάπας σε συνάρτηση με το χρόνο, στο παραπάνω χρονικό διάστημα.

Απάντηση:

ή

  Δυναμική και μια ... δίκλωνη συνάρτηση

  Δυναμική και μια  ... δίκλωνη συνάρτηση

Δυνάμεις από απόσταση και δυνάμεις εξ επαφής.

 Στα παρακάτω σχήματα βλέπετε ένα σώμα βάρους 4Ν, σε  διάφορες θέσεις. Τριβές δεν υπάρχουν. 

i)  Να σχεδιάσετε πάνω στο σχήμα τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα, από απόσταση, σε κάθε περίπτωση.

ii) Σε νέο σχήμα, να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που σε κάθε περίπτωση ασκούνται στο σώμα, από επαφή.

iii) Το παραπάνω σώμα κινείται, όπως δείχνετε στα παρακάτω σχήματα.

Να σχεδιάστε, σε κάθε σχήμα, όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα.

Απάντηση:

ή

 Δυνάμεις από απόσταση και δυνάμεις εξ επαφής.

 Δυνάμεις από απόσταση και δυνάμεις εξ επαφής.

Το ελατήριο, το βάρος και οι δυνάμεις.

  

Ένα ιδανικό ελατήριο (απόλυτα ελαστικό με αμελητέο βάρος), κρέμεται από το ταβάνι, όπως στο σχήμα (θέση Α), έχοντας το φυσικό μήκος του ℓ₀. Ασκώντας με το χέρι μας στο κάτω άκρο του, μια κατακόρυφη δύναμη F₁ μέτρου F₁=4Ν, επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά Δℓ, όπως στη θέση Β.

i)  Στη Γ θέση, έχουμε αντικαταστήσει την δύναμη F₁, με μια μικρή σφαίρα, η οποία ηρεμεί, έχοντας προκαλέσει την ίδια επιμήκυνση Δℓ στο ελατήριο.

α)  Να σχεδιάσετε την δύναμη F₂ που επιμηκύνει το ελατήριο στη θέση Γ και να υπολογίσετε το μέτρο της.

β) Να βρείτε το βάρος της σφαίρας.

ii) Τραβώντας τη σφαίρα προς τα κάτω, την φέρνουμε στη θέση Δ και την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί.

α) Να σχεδιάσετε την δύναμη F₃ που η σφαίρα ασκεί στο ελατήριο, αμέσως μόλις αφεθεί να κινηθεί.

β) Το μέτρο της δύναμης F₃, είναι μικρότερο, ίσο ή μεγαλύτερο από το βάρος της σφαίρας;

iii) Μετά από λίγο, η σφαίρα έχει φτάσει στη θέση Ε, του σχήματος. Να σχεδιάστε στη θέση αυτή, την δύναμη F₄ που η σφαίρα ασκεί στο ελατήριο. Συνδέεται με κάποιο τρόπο η δύναμη αυτή με το βάρος της σφαίρας;

Απάντηση:

ή

 Το ελατήριο, το βάρος και οι δυνάμεις.

 Το ελατήριο, το βάρος και οι δυνάμεις.

Ας δούμε και ένα πρόβλημα Κινηματικής

  

Σε ευθύγραμμο δρόμο κινούνται με σταθερές ταχύτητες υ₁=78km/h και υ₂=108km/s, δύο αυτοκίνητα και σε μια στιγμή t=0 μπαίνουν ταυτόχρονα σε ένα τούνελ, από το οποίο βγαίνουν επίσης ταυτόχρονα, μετά από λίγο χρόνο. Για την κίνηση εντός του τούνελ, έχουμε τις πληροφορίες:

α)  Το πρώτο αυτοκίνητο, κάποια στιγμή t₁ απέκτησε σταθερή επιτάχυνση α₁=2m/s², προσέχοντας να μην ξεπεράσει την ταχύτητα των 40m/s, την οποία διατήρησε σταθερή στη συνέχεια.

β) Το δεύτερο αυτοκίνητο δεν άλλαξε ταχύτητα στη διάρκεια της κίνησής του.

i)   Να βρεθεί το μήκος του τούνελ D, σε συνάρτηση με τη χρονική στιγμή t₁, όπου άρχισε να επιταχύνεται το πρώτο αυτοκίνητο.

ii)  Πόσο θα απείχε το πρώτο αυτοκίνητο από την έξοδο του τούνελ τη στιγμή που θα άρχιζε η έξοδος του δεύτερου αυτοκινήτου, αν ο οδηγός του ξεκίναγε την επιτάχυνση του αυτοκινήτου του, 4s γρηγορότερα από την στιγμή t₁;

iii) Να βρεθεί το μήκος του τούνελ, αν το πρώτο αυτοκίνητο κινήθηκε επί χρονικό διάστημα Δt=8s με την τελική του ταχύτητα.

Απάντηση:

ή

  Ας δούμε και ένα πρόβλημα Κινηματικής

  Ας δούμε και ένα πρόβλημα Κινηματικής

Μια συνάντηση δύο οχημάτων

  

Σε ένα ευθύγραμμο δρόμο βρίσκεται ακίνητο ένα αυτοκίνητο Α στη θέση Ο, ενώ ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β κινείται προς το Α με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ₂=10m/s. Σε μια στιγμή που θεωρούμε ως t₀=0, όπου τα δύο αυτοκίνητα απέχουν απόσταση D, το Α αποκτά σταθερή επιτάχυνση μέτρου α₁=0,5m/s², οπότε αρχίζει να κινείται προς συνάντηση του Β. Τη στιγμή που τα δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται έχουν ίσες κατά μέτρο, ταχύτητες.

Θεωρώντας την αρχική θέση του Α αυτοκινήτου σαν αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x και την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική:

i) Να βρείτε ποια χρονική στιγμή t₁ συναντώνται τα δυο αυτοκίνητα.

ii) Να γίνουν, σε κοινούς άξονες, οι γραφικές παραστάσεις υ-t, των ταχυτήτων των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση με το χρόνο και μέχρι τη στιγμή t₂=t₁+10s.

iii) Με την βοήθεια των παραπάνω γραφικών παραστάσεων να υπολογιστεί η αρχική απόσταση D τη στιγμή t₀.

iv) Αφού γράψετε τις εξισώσεις κίνησης (x-t) για κάθε αυτοκίνητο, να υπολογιστεί η απόσταση μεταξύ τους την χρονική στιγμή t₃=8s.

Απάντηση:

ή

 Μια συνάντηση  δύο οχημάτων

 Μια συνάντηση  δύο οχημάτων

Αν μας δίνουν διαγράμματα θέσης.

  

Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα σε οριζόντιο δρόμο κατά μήκος ενός προσανατολισμένου άξονα x, ξεκινώντας από ένα σημείο Ρ.

1) Στο διπλανό διάγραμμα δίνονται 4 διαφορετικές εκδοχές της γραφικής παράστασης της θέσης του, σε συνάρτηση με το χρόνο. Σε όποια κίνηση υπάρχει επιτάχυνση, αυτή είναι σταθερή.

i)  Υπάρχει μια κίνηση όπου το σώμα ξεκινά από την ηρεμία. Ποια μπορεί να είναι αυτή;

ii)  Σε ποιες κινήσεις το σώμα κινείται με επιτάχυνση;

iii) Σε ποιες κινήσεις το σώμα έχει θετική επιτάχυνση;

iv) Μπορείτε να εξηγήστε τη διαφορά μεταξύ των κινήσεων που παριστάνονται στις καμπύλες Γ και Δ;

Να δώσετε σύντομες δικαιολογήσεις.

 2) Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η γραφική παράσταση της θέσης σε συνάρτηση με το χρόνο, για δύο κινητά Κ₁ και Κ₂, τα οποία κινούνται στον ίδιο (όπως παραπάνω) οριζόντιο δρόμο.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. Να δώσετε σύντομες δικαιολογήσεις.

i) Το κινητό Κ₁ έχει αρνητική αρχική θέση και θετική αρχική ταχύτητα.

ii) Το κινητό Κ₁ εκτελεί επιβραδυνόμενη κίνηση μέχρι που σταματά.

iii) Το κινητό Κ₂ έχει αρχική ταχύτητα προς τα αριστερά και αρνητική επιτάχυνση.

iv) Το Κ₂  εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση.

Απάντηση:

ή

 Αν μας δίνουν διαγράμματα θέσης.

 Αν μας δίνουν διαγράμματα θέσης.

 Αν μας δίνουν διαγράμματα θέσης.

Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται.

 

Σε ένα σημείο Ο, ενός ευθύγραμμου δρόμου βρίσκεται ακίνητο ένα αυτοκίνητο Α, ενώ ένα δεύτερο όχημα Β κινείται προς το Α. Κάποια στιγμή t₀=0 το αυτοκίνητο Α αρχίζει να κινείται προς το Β, με σταθερή επιτάχυνση και λαμβάνοντας το σημείο Ο ως αρχή ενός προσανατολισμένου άξονα x, παίρνουμε τις θέσεις των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση με το χρόνο, σχεδιάζοντας το διπλανό γράφημα x-t.

i)  Μπορείτε να περιγράψτε τις κινήσεις των δύο αυτοκινήτων;

ii) Ποια η απόσταση μεταξύ των δύο οχημάτων τη στιγμή της εκκίνησης του Α;

iii) Να βρεθεί η επιτάχυνση του Α οχήματος και η ταχύτητά του τη στιγμή της διασταύρωσής του με το Β.

iv) Να βρεθούν οι μετατοπίσεις των δύο αυτοκινήτων τη στιγμή t₁=10s. Με ποια ταχύτητα κινείται το Β αυτοκίνητο;

iv) Σε ποια θέση βρίσκεται το Α αυτοκίνητο, όταν το Β φτάνει στο σημείο Ο;

Απάντηση:

ή

 Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται.

 Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται.

 Δύο αυτοκίνητα διασταυρώνονται.

Ποιο κινητό μετατοπίζεται περισσότερο;

   

1) Από το ίδιο σημείο ενός ευθύγραμμου δρόμου, την ίδια στιγμή ξεκινούν να κινούνται, δύο κινητά. Στο διάγραμμα (α) δίνεται πώς μεταβάλλονται οι ταχύτητες των κινητών, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, μέχρι τη στιγμή t₁ εκτελεί το κινητό:

α) Α,    β) Β,    γ) και τα δύο κινητά.

ii) Μεγαλύτερη απόσταση μέχρι τη στιγμή t₂, διανύει το κινητό:

α) Α,         β) Β,        γ) τα δύο κινητά διανύουν ίσες αποστάσεις.

Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

2)  Ποιες θα ήταν οι απαντήσεις στα παραπάνω ερωτήματα, αν το διάγραμμα για τις ταχύτητες των κινητών, ήταν όπως στο (β) διάγραμμα;

Απάντηση:

ή

 Ποιο κινητό μετατοπίζεται περισσότερο;

 Ποιο κινητό μετατοπίζεται περισσότερο;

Δύο κινήσεις, μόλις το φανάρι γίνει πράσινο

  

Σε ευθύγραμμο δρόμο, μπροστά από ένα φανάρι, που έχει ανάψει το κόκκινο, έχει σταματήσει ένα αυτοκίνητο Α. Τη στιγμή t₀=0, που ανοίγει το πράσινο, ο οδηγός του αυτοκινήτου Α, το θέτει σε κίνηση, ενώ ταυτόχρονα ένα δεύτερο αυτοκίνητο Β, το οποίο «έρχεται με ταχύτητα», περνάει δίπλα του. Στο διάγραμμα δίνονται οι ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Να υπολογιστούν οι επιταχύνσεις των δύο αυτοκινήτων.

ii) Να βρεθούν οι ταχύτητες των αυτοκινήτων τη χρονική στιγμή t₁=3,2s.

iii) Ποια χρονική στιγμή t₂ θα σταματήσει το Β αυτοκίνητο (θα μηδενιστεί η ταχύτητά του και θα παραμείνει ακίνητο), αν δεν αλλάξουν κίνηση τα δύο αυτοκίνητα, και πόσο θα απέχουν μεταξύ τους τη στιγμή αυτή;

Απάντηση:

ή

  Δύο κινήσεις, μόλις το φανάρι γίνει πράσινο

 Δύο κινήσεις, μόλις το φανάρι γίνει πράσινο

   Δύο κινήσεις, μόλις το φανάρι γίνει πράσινο

Από ένα διάγραμμα ταχύτητας.

 

Ένα σώμα κινείται σε οριζόντιο επίπεδο και τη στιγμή t=0, περνά από ένα σημείο Α, το οποίο απέχει 10m από την αρχή Ο ενός προσανατολισμένου άξονα, όπου η προς τα δεξιά κατεύθυνση ορίζεται ως θετική. Στο διάγραμμα του σχήματος, φαίνεται ο τρόπος που μεταβάλλεται η ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

i)  Η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή t=0 είναι προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά;

ii) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώματος τις χρονικές στιγμές t₁=2s και t₂=8s.

iii) Ποια η τιμή της ταχύτητας του σώματος τις παραπάνω χρονικές στιγμές;

iv) Για τη χρονική στιγμή t₃=5s, να υπολογιστούν:

α) Η επιτάχυνση,    β) η ταχύτητα και   γ) η μετατόπιση και η θέση του σώματος.

v) Ποια είναι η θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t₄=10s;

Απάντηση:

ή

Από ένα διάγραμμα ταχύτητας.

Από ένα διάγραμμα ταχύτητας.