Δύο μεταβαλλόμενες κινήσεις.

Από ένα σημείο Ο, ενός ευθύγραμμου δρόμου, σε μια στιγμή (t₀=0) περνάνε δύο αυτοκίνητα Α και Β έχοντας ταχύτητες 10m/s και 30m/s, αντίστοιχα, με κατεύθυνση προς τα δεξιά, έχοντας και επιταχύνσεις σταθερού μέτρου 2m/s² και με κατευθύνσεις το Α προς τα δεξιά και το Β προς τα αριστερά.

i)  Να υπολογίστε τις ταχύτητες και τις θέσεις των δύο αυτοκινήτων τη χρονική στιγμή t₁=3s.

ii) Ποια χρονική στιγμή τα δύο αυτοκίνητα έχουν ίσες ταχύτητες; Πόση είναι η απόσταση μεταξύ τους τη στιγμή αυτή;

iii) Ποια χρονική στιγμή, θα βρεθούν ξανά το ένα δίπλα στο άλλο; Ποιες οι ταχύτητες των δύο αυτοκινήτων τη στιγμή αυτή;

iv) Να κάνετε στο ίδιο διάγραμμα τις γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση με το χρόνο, μέχρι τη στιγμή που θα σταματήσει το Β αυτοκίνητο:

 α) της ταχύτητας κάθε αυτοκινήτου.

 β)  της θέσης κάθε αυτοκινήτου.

Απάντηση:

ή

Δύο μεταβαλλόμενες κινήσεις.

ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΤΟΥ

Αυτοκίνητο κινείται την χρονική στιγμή t₀ = 0, ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ₁ = 10 m/s ως την χρονική στιγμή t₁ = 10 s, στη συνέχεια επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση μέτρου α₂ = 2 m/s² μέχρι την χρονική στιγμή t₂ = 30 s και τέλος επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση μέτρου α₃ = 5 m/s² μέχρι την χρονική στιγμή t₃ που σταματά.

α. να βρείτε την συνολική ....

 

ΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΧΡΟΝΙΚΗ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗ

Στο διπλανό διάγραμμα βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις των ταχυτήτων δύο κινητών Α και Β. Οι αρχικές θέσεις είναι x₀₁ = 5 m και x₀₂ = 1 m, αντίστοιχα.

α. Να γράψετε τις εξισώσεις της ταχύτητας και της θέσης του κάθε κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο.

β. Να βρείτε το διάστημα που έχει διανύσει κάθε κινητό από την έναρξη της κίνησης του έως την χρονική στιγμή t = 5 s.

γ. Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητα του κινητού Β είναι διπλάσια απ’ αυτή του κινητού Α;

δ. Ποια χρονική στιγμή τα δύο κινητά συναντιούνται;

ε. Να γίνουν τα διαγράμματα θέσης χρόνου και διαστήματος χρόνου από την χρονική στιγμή t₀ = 0, ως την στιγμή της συνάντησης.

 

Ανακρίνοντας τρία διαγράμματα…

1)  Ένα σώμα κινείται πάνω στον άξονα x και στο διάγραμμα φαίνεται η θέση του σε συνάρτηση με το χρόνο.

Με βάση πληροφορίες που μπορείτε να αντλήσετε μελετώντας το παραπάνω διάγραμμα να απαντήσετε στις παρακάτω προτάσεις:

i) Τη χρονική στιγμή  t₂ η ταχύτητα του κινητού είναι:   
  α) Μηδέν,      β) Θετική,      γ) Αρνητική.  

ii) Τη χρονική στιγμή  t₄  η ταχύτητα του κινητού είναι:  
  α) Μηδέν,      β) Θετική,      γ) Αρνητική.  

iii) Τη χρονική στιγμή  t₁ το σώμα έχει ταχύτητα:
  α) Μέγιστη,    β) Μηδέν,      γ) Θετική.     

iv) Από την θέση x=5m το κινητό περνάει:       
  α) Μία φορά,  β) Δύο φορές, γ) Τρεις φορές.       

v)  Χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις:

α) Το σώμα τελικά σταματά στην αρχή Ο των αξόνων.

β) Η μετατόπιση του σώματος από t=0 έως τη στιγμή t₃ είναι ίση με -25m.

γ) Το διάστημα που διανύει το σώμα από t=0 έως τη στιγμή t₃ είναι ίση με +25m.

δ) Στο χρονικό διάστημα t₅-t₆ το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση.

ε) Στο χρονικό διάστημα t₅-t₆ το σώμα δεν κινείται.

Δείτε τη συνέχεια:

ή

Ανακρίνοντας τρία διαγράμματα…

ΤΟ ΠΡΩΙΝΟ ΤΟΥ ΔΙΟΝΥΣΗ

Ο κύριος Διονύσης που έχει βγει στην σύνταξη, σηκώνεται κάθε πρωί να πιει το καφεδάκι του και μετά πάει στο περίπτερο να αγοράσει την εφημερίδα του. Μιλάει λίγο με τον περιπτερά και εκείνη τη στιγμή αρχίζει να βρέχει οπότε επιστρέφει σπίτι του επιταχυνόμενος. Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται η ταχύτητα του Διονύση σε συνάρτηση με το χρόνο, από την στιγμή που έφυγε από το σπίτι του έως την επιστροφή του σ’ αυτό.

α. πόσο απέχει το σπίτι του Διονύση από το περίπτερο αν θεωρηθεί ότι και τα δύο βρίσκονται κατά μήκος του δρόμου;

β.

 

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΘΕΣΗΣ-ΧΡΟΝΟΥ

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>>>

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ-ΧΡΟΝΟΥ

Σ Υ Ν Ε Χ Ε Ι Α >>>>>

Επιλέξτε το σωστό διάγραμμα.

Ένα αυτοκίνητο κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα και σε μια στιγμή t₁ αρχίζει να φρενάρει μειώνοντας την ταχύτητά του. Ποιο από τα παρακάτω διαγράμματα περιγράφει σωστά τη θέση του σε συνάρτηση με το χρόνο;

Απάντηση:

ή

Επιλέξτε το σωστό διάγραμμα.

Η κίνηση και τα διαγράμματα θέσεις.

Ένας άνθρωπος ξεκινά από το σπίτι του και πηγαίνει στο διπλανό περίπτερο, όπου αγοράζει την εφημερίδα του και στη συνέχεια επιστρέφει περπατώντας λίγο πιο γρήγορα. Σε κάθε περίπτωση κινείται με σταθερή ταχύτητα, ενώ η κίνηση πραγματοποιείται σε ευθύ δρόμο.  Ζητήσαμε από οκτώ μαθητές να σχεδιάσουν διαγράμματα θέσης-χρόνου για την κίνηση του ανθρώπου και μας έδωσαν τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις.

i) Ποιοι μαθητές σχεδίασαν σωστά διαγράμματα;

ii) Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Απάντηση:

ή

Η κίνηση και τα διαγράμματα θέσεις.

Μελετώντας τις κινήσεις τριών σωμάτων.

Στο διπλανό διάγραμμα δίνεται η θέση τριών σωμάτων, τα οποία κινούνται ευθύγραμμα, στον ίδιο δρόμο, σε συνάρτηση με το χρόνο. Με βάση πληροφορίες που μπορείτε να αντλήσετε μελετώντας το διάγραμμα, να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις, δικαιολογώντας τις απαντήσεις σας.

i) Ποιο σώμα μετακινήθηκε περισσότερο στο χρονικό διάστημα 0-t₁;

ii) Τι κίνηση πραγματοποιεί το Γ σώμα;

iii) Περιγράψτε την κίνηση του σώματος Α.

iv) Τη στιγμή t₁ μεγαλύτερη κατά μέτρο ταχύτητα έχει το σώμα:

 α) Α,    β) Β,   γ) Γ,  δ) έχουν ίσες ταχύτητες και τα τρία σώματα.

v) Μεγαλύτερη μέση ταχύτητα (κατά μέτρο) στο χρονικό διάστημα 0-t₁ έχει το σώμα:

α) Α,     β) Β,   γ) Γ,  δ) έχουν ίσου μέτρου μέσες ταχύτητες και τα τρία σώματα.

Απάντηση:

ή

Μελετώντας τις κινήσεις τριών σωμάτων.

Δυο παιδιά περπατούν...

Δυο παιδιά Α και Β, στέκονται σε απόσταση d=(ΚΛ)=190m, σε ευθύγραμμο δρόμο. Σε μια στιγμή το πρώτο παιδί Α αρχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα μέτρου 2m/s προς το Β. Μετά από 5s, ξεκινά και το παιδί Β να κινείται προς το Α, με σταθερή ταχύτητα μέτρου 1,6m/s. Τη στιγμή της συνάντησής τους, σταματούν για χρονικό διάστημα 10s, ανταλλάσσοντας κάποιες κουβέντες και μετά συνεχίζουν την πορεία τους.

Θεωρώντας αρχή μέτρησης των αποστάσεων, την αρχική θέση του Α παιδιού (σημείο Κ) και θετική την προς τα δεξιά κατεύθυνση, ζητούνται:

i) Να βρείτε τις εξισώσεις κίνησης κάθε παιδιού, μέχρι τη στιγμή της συνάντησης.

ii) Ποια χρονική στιγμή και σε πόση απόσταση από το σημείο Κ θα συναντηθούν τα παιδιά;

iii) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις της θέσης κάθε παιδιού, σε συνάρτηση με το χρόνο, στο ίδιο διάγραμμα, μέχρι που το Α παιδί να φτάσει στο σημείο Λ.

Απάντηση:

ή

Δυο παιδιά περπατούν..

Η ΑΣΚΗΣΗ 5 ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΜΕ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ

Περιπολικό αρχίζει να καταδιώκει μοτοσικλετιστή που βρίσκεται σε απόσταση d = 500 m μπροστά από το περιπολικό. Το περιπολικό έχει σταθερή ταχύτητα υ_π = 30 m/s, ενώ ο μοτοσικλετιστής κινείται με σταθερή ταχύτητα υ_Μ = 20 m/s. Να βρεθούν:

α. O χρόνος t που απαιτείται για να φτάσει το περιπολικό τον μοτοσικλετιστή.

β. Το διάστημα που θα διανύσει το περιπολικό στο χρόνο αυτό.

γ. Να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας χρόνου, διαστήματος χρόνου, μετατόπισης χρόνου και θέσης χρόνου και για τα δύο κινητά σε κοινά συστήματα αξόνων, θεωρώντας ότι το σημείο Α βρίσκεται στην αρχή των αξόνων.

δ. Όταν ο μοτοσικλετιστής βρίσκεται στο μέσο, μεταξύ της αφετηρίας του και του σημείου συνάντησης πόσο απέχει από το περιπολικό;

 

«Αποκαλυπτικά διαγράμματα ταχύτητας – χρόνου»

Οι πληροφορίες που συνήθως  αναζητούμε από  ένα διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου για την λύση ενός προβλήματος ή μιας απάντησης σε ερώτηση κινηματικής είναι:

1. Ο υπολογισμός της μετατόπισης χωρίς τη χρήση των αντίστοιχων τύπων για τα διάφορα είδη κίνησης , όπου από τον ορισμό της ταχύτητας υ=Δx/Δt προκύπτει ότι το μέτρο της μετατόπισης Δx του σώματος σε χρονικό διάστημα Δt, Δx=υΔt μπορεί να απεικονιστεί στο διάγραμμα ταχύτητας – χρόνου ως το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης «υ – t» και του άξονα των χρόνων και

2. Ο υπολογισμός της επιτάχυνσης α  από την κλίση της γραφικής παράστασης, αφού εξ ορισμού α=Δυ/Δt.

Όμως σε πολλές περιπτώσεις ερωτήσεων ή προβλημάτων η προσεκτική παρατήρηση του διαγράμματος «υ - t» μπορεί να «αποκαλύψει» πληροφορίες που συμβάλλουν αποφασιστικά στην απάντηση μιας ερώτησης ή τη λύση ενός θέματος, χωρίς αυτό να περιορίζεται απαραίτητα στον εύκολο αριθμητικά υπολογισμό (χωρίς χρήση των αντίστοιχων εξισώσεων κίνησης) των Δx και α. Ας δούμε τα επόμενα θέματα όπου η προσεκτική παρατήρηση του διαγράμματος «υ–t» οδηγεί στη λύση ή την απλοποιεί.

1^ο Θέμα

Διαστημικό λεωφορείο που αρχικά ηρεμεί (υ₀=0), απογειώνεται τη χρονική στιγμή t₀=0 και κινείται ευθύγραμμα χωρίς να αλλάξει κατεύθυνση. Στη διάρκεια του ταξιδιού του καθώς καταναλώνει τα καύσιμά του γίνεται διαρκώς ελαφρύτερο με αποτέλεσμα η επιτάχυνσή του να αυξάνει διαρκώς όπως και η ταχύτητά του η οποία  αποκτά μια τελική τιμή υ_τ  τη χρονική στιγμή t_τ που εξαντλεί τα καύσιμά του. Κατά τον απαραίτητο τεχνικό έλεγχο πριν την εκτόξευση και προκειμένου να ελεγχθούν οι αντοχές του λεωφορείου αυτό επιταχύνεται ευθύγραμμα, χωρίς να αλλάξει κατεύθυνση με κατάλληλη σταθερή επιτάχυνση, ώστε τη χρονική στιγμή t_τ  η ταχύτητά του να είναι ίση με την τελική ταχύτητα υ_τ που θα αποκτήσει κατά τη διάρκεια του ταξιδιού του.

Η συνέχεια σε pdf: 

«Αποκαλυπτικά διαγράμματα ταχύτητας – χρόνου»

ΠΕΡΑΣΜΑ ΓΕΦΥΡΑΣ ΜΕ ΝΤΑΛΙΚΑ

Μια νταλίκα έχει μήκος ℓ = 10 m, κινείται με ταχύτητα υ = 10m/s και περνά μια γέφυρα μήκους d = 1490 m. Να βρείτε:

α. Για πόσο χρόνο θα βρίσκεται τμήμα της νταλίκας πάνω στη γέφυρα

β. Για πόσο χρόνο θα βρίσκεται ολόκληρη η νταλίκα πάνω στη γέφυρα

γ. Για πόσο χρόνο θα βρίσκεται ο οδηγός της νταλίκας πάνω στη γέφυρα

 

Δύναμη F-Τριβή Ολίσθησης

Σώμα μάζας m=2Kg εκτελεί ΕΟΚ με φορά κίνησης προς τα δεξιά πάνω σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο, με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,5. Ξαφνικά δέχεται σταθερή δύναμη F=20N, η διεύθυνση της οποίας μπορεί να είναι  μια από τις ακόλουθες περιπτώσεις:

1^η Περίπτωση

Οριζόντια

Η συνέχεια σε pdf.

Η κίνηση και οι παρατηρητές.

Ένα αυτοκίνητο κινείται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου δρόμου με σταθερή ταχύτητα. Στο πλάι του δρόμου βρίσκονται δύο μαθητές, ο Αντώνης (Α) και ο Βασίλης (Β). Τη στιγμή που το αυτοκίνητο περνά μπροστά από ένα δένδρο σε απόσταση d₁=200m από τα παιδιά, όπως στο σχήμα, τα παιδιά θέτουν σε λειτουργία τα χρονόμετρά τους. Τη στιγμή που το αυτοκίνητο περνά μπροστά από τα παιδιά, τα χρονόμετρα δείχνουν 40s.

Ο Αντώνης θεωρεί την θέση του δένδρου ως αρχή ενός άξονα x, με θετικά προς τα δεξιά, ενώ ο Βασίλης παίρνει ως αρχή του άξονα x, τη θέση που στέκεται, αλλά επίσης την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική.

i)  Να βρεθεί η εξίσωση της κίνησης του αυτοκινήτου, όπως την γράφει κάθε μαθητής.

ii) Ποια χρονική στιγμή υπολογίζει κάθε μαθητής ότι το αυτοκίνητο θα περάσει μπροστά από ένα δένδρο δεξιά τους σε απόσταση d₂=300m;

iii) Ζητάμε από κάθε μαθητή να κάνεις τις γραφικές παραστάσεις, σε συνάρτηση με το χρόνο:

 α) της ταχύτητας του αυτοκινήτου

 β) Της θέσης του αυτοκινήτου.

 γ) της μετατόπισής του.

Ποιες μορφές έχουν οι γραφικές τους παραστάσεις;

Απάντηση:

ή

Η κίνηση και οι παρατηρητές.

Άσκηση. Νόμοι Νεύτωνα.

Το σώμα του σχήματος έχει μάζα m=2Kg και είναι ακίνητο πάνω σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,5. Τη χρονική στιγμή t=0 δέχεται σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=20Ν.

α) Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος.

β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος την χρονική t₁ όπου το σώμα έχει διανύσει απόσταση 10m.

γ) Αν τη χρονική στιγμή t₁ η δύναμη F αλλάζει διεύθυνση και από οριζόντια γίνεται κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω (όπως στο σχήμα), να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t₂ που το σώμα σταματάει.

δ) Αν τη χρονική t₁ η δύναμη F άλλαζε διεύθυνση και από οριζόντια γινόταν κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω, να υπολογίσετε πόσο χρονικό διάστημα μετά τη χρονική στιγμή t₁ χρειάζεται για να διανύσει επιπλέον απόσταση 30m.

Δίνεται ότι g=10m/s².

Απάντηση:

Μια μπάλα κινείται.

Στο παραπάνω σχήμα φαίνεται μια μπάλα που κινείται ευθύγραμμα, κατά μήκος ενός χάρακα, ενώ στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της θέσης της μπάλας, σε συνάρτηση με το χρόνο.

i) Σημειώστε πάνω στο σχήμα τη θέση της μπάλας τη στιγμή t=0.

ii) Σχεδιάστε επίσης το διάνυσμα της ταχύτητας της μπάλας, στην θέση που δίνεται.

iii) Να υπολογίστε την (αλγεβρική) τιμή της ταχύτητας.

iv) Ποια χρονική στιγμή η μπάλα περνά από τη θέση που φαίνεται στο σχήμα;

v) πόσο χρονικό διάστημα θα χρειαστεί η μπάλα για να πάει από την θέση που βλέπετε στο σχήμα στη θέση x₂=2cm;

Απάντηση:

ή

Μια μπάλα κινείται.

Ένα ρεκόρ του Γιάννη…

Στους πανελλήνιους μαθητικούς αγώνες του 1985  και στον τελικό των D=100m έτρεχε ο φίλος και συνάδελφος τώρα πια Γιάννης Λαμπρόπουλος που μπορούσε  να αναπτύξει μέγιστη ταχύτητα u_max=10m/s καθώς και μέγιστη επιτάχυνση a_max=6,25m/s² με την  τότε βοήθεια,  του καταπληκτικού ανθρώπου και προπονητή του Γιάννη Δημητριάδη. Το ρεκόρ του συναδέλφου τώρα, αλλά δρομέα τότε, σε εκείνο τον αγώνα ήταν 10,9sec.

A) Ποιος ήταν ο χρόνος αντίδρασης του δρομέα;

B) Nα σχεδιασθεί το διάγραμμα του μέτρου της ταχύτητας του δρομέα σε συνάρτηση με το χρόνο καθώς και το διάγραμμα του διαστήματος σε συνάρτηση με το χρόνο.

Aπάντηση:

Η ΑΣΚΗΣΗ 4 ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΜΕ ΠΡΟΕΚΤΑΣΕΙΣ

Δύο αυτοκίνητα ξεκινάνε ταυτόχρονα από τα σημεία A και B μιας ευθύγραμμης διαδρομής κινούμενα αντίθετα με σταθερές ταχύτητες υ₁ = 36 km/h και υ₂ = 54 km/h αντίστοιχα.

α. Να βρεθεί μετά από πόσο χρόνο και σε ποιο σημείο θα συναντηθούν τα αυτοκίνητα, αν είναι AB = 1 km.

β. Να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας χρόνου και διαστήματος χρόνου και για τα δύο κινητά σε κοινά συστήματα αξόνων.

γ. Να γίνουν τα διαγράμματα μετατόπισης χρόνου και θέσης χρόνου, για τα δύο κινητά σε κοινά συστήματα αξόνων, θεωρώντας ότι το σημείο Α βρίσκεται στην αρχή των αξόνων